2010-浙江卷文-22 解-抛物线与直径圆

本题导读

考查抛物线综合。（1）$\frac{p}{2}=\frac{m^2}{2}$，$p=4$，$y^2=8x$；（2）$\overrightarrow{TG}\cdot \overrightarrow{TH}=\frac{m^6}{3}>0$，$T$ 在以 $GH$ 为直径的圆外。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 已知 $m$ 是非零实数，抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 在直线 $l:x-my-\frac{m^2}{2}=0$ 上.

(1)若 $m=2$，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)设直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，过 $A$，$B$ 分别作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $A_1$，$B_1$，$△A{A}_{1}F$，$△B{B}_{1}F$ 的重心分别为 $G$，$H$. 求证：对任意非零实数 $m$，抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点在以线段 $GH$ 为直径的圆外.

🔍【思路分析】

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1. （1）$F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 代入 $l$：$\frac{p}{2}=\frac{m^2}{2}$，$p=m^2=4$，$y^2=8x$。
2. （2）$p=m^2$，准线 $x=-\frac{m^2}{2}$，$T\left(-\frac{m^2}{2},0\right)$；$x=my+\frac{m^2}{2}$ 代入 $y^2=2m^{2}x$：$y^2-2m^{3}y-m^4=0$。
3. $y_1+y_2=2m^3$，$y_1{y}_2=-m^4$；$G\left(\frac{x_1}{3},\frac{2y_1}{3}\right)$，$H\left(\frac{x_2}{3},\frac{2y_2}{3}\right)$。
4. $\overrightarrow{TG}\cdot \overrightarrow{TH}=\frac{m^2(2m+y_1)(2m+y_2)+4y_1{y}_2}{9}=\frac{m^6}{3}>0$。
5. 点 $X$ 在以 $GH$ 为直径的圆外 $⟺\overrightarrow{XG}\cdot \overrightarrow{XH}>0$，故 $T$ 在圆外。

✅【答案】

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(1) $y^2=8x$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$。 由 $F$ 在直线 $l$ 上：$\frac{p}{2}-\frac{m^2}{2}=0$，$p=m^2$。 当 $m=2$ 时 $p=4$，故抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=8x.$ （2）由 $p=m^2$ 知 $F\left(\frac{m^2}{2},0\right)$，准线为 $x=-\frac{m^2}{2}$，设准线与 $x$ 轴交于 $T\left(-\frac{m^2}{2},0\right)$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。由直线 $l$ 得 $x=my+\frac{m^2}{2}$，代入 $y^2=2m^{2}x$： $y^2-2m^{3}y-m^4=0,$ $\Delta =4m^6+4m^4>0$，且 $y_1+y_2=2m^3,y_1{y}_2=-m^4.$ 过 $A$，$B$ 作准线的垂线为水平线，故 $A_1\left(-\frac{m^2}{2},y_1\right)$，$B_1\left(-\frac{m^2}{2},y_2\right)$。 由重心坐标公式： $G\left(\frac{x_1}{3},\frac{2y_1}{3}\right),H\left(\frac{x_2}{3},\frac{2y_2}{3}\right).$ 由 $x_1=m{y}_1+\frac{m^2}{2}$ 得 $\overrightarrow{TG}=\left(\frac{m(2m+y_1)}{3},\frac{2y_1}{3}\right)$，同理 $\overrightarrow{TH}=\left(\frac{m(2m+y_2)}{3},\frac{2y_2}{3}\right)$。于是 $\overrightarrow{TG}\cdot \overrightarrow{TH}=\frac{m^2(2m+y_1)(2m+y_2)+4y_1{y}_2}{9}.$ 由根与系数的关系： $(2m+y_1)(2m+y_2)=4m^2+2m(y_1+y_2)+y_1{y}_2=4m^2+4m^4-m^4=4m^2+3m^4,$ 故 $\overrightarrow{TG}\cdot \overrightarrow{TH}=\frac{m^2(4m^2+3m^4)-4m^4}{9}=\frac{4m^4+3m^6-4m^4}{9}=\frac{m^6}{3}>0.$ 设以 $GH$ 为直径的圆的圆心为 $O_1$。对任意点 $X$： $\overrightarrow{XG}\cdot \overrightarrow{XH}={\left|X{O}_1\right|}^2-{\left(\frac{|GH|}{2}\right)}^2,$ 该数量大于零时点 $X$ 在圆外。取 $X=T$，由上式 $\overrightarrow{TG}\cdot \overrightarrow{TH}=\frac{m^6}{3}>0$， 故 $T$ 在以线段 $GH$ 为直径的圆外，即抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点在该圆外。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦与点圆位置

核心方法：焦点代入直线得 $p=m^2$；重心坐标 $+$ 韦达定理算数量积

避坑指南：$A_1,B_1$ 在准线上，横坐标都是 $-\frac{m^2}{2}$；重心 $G=\frac{A+A_1+F}{3}$ 的横坐标是 $\frac{x_1}{3}$（$A_1,F$ 横坐标抵消），化简别错；圆外判定用 $\overrightarrow{TG}\cdot \overrightarrow{TH}>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点 $X$ 与以 $GH$ 为直径的圆的位置关系 $⟺\overrightarrow{XG}\cdot \overrightarrow{XH}$ 的符号：正外零上负内。

结论推广：焦点在直线上给出 $p=m^2$，是全题参数化的总开关。

方法推广：抛物线上点与准线、焦点构成的三角形重心横坐标天然消去准线项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2011-浙江卷文-22 解-抛物线切线与圆
• 2009-江苏卷-22 解-抛物线参数法弦长
• 2011-陕西卷文-02 单-抛物线准线求方程