2010-湖南卷文-16 解-三角恒等变换最值

本题导读

考查三角恒等变换。$f(x)=\sin 2x+\cos 2x-1=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-1$，周期 $\pi$；最大值 $\sqrt{2}-1$，此时 $x=\frac{\pi }{8}+k\pi$。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin 2x-2{\sin }^{2}x$.

(1)求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2)求函数 $f(x)$ 的最大值及 $f(x)$ 取最大值时 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

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1. 用 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 降幂，化为同名三角函数之和。
2. 辅助角公式合一成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 型。
3. 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；令 $\sin (\cdot )=1$ 得最大值点。

✅【答案】

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(1) $\pi$

(2) 最大值 $\sqrt{2}-1$，此时 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$，得 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x-1=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-1.$ 所以 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. （2）由 $-1⩽\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)⩽1$，得 $f(x)⩽\sqrt{2}-1$， 所以 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}-1$，当且仅当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ 时取到， 即 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），解得 $x=\frac{\pi }{8}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）. 故取最大值时 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与周期最值

核心方法：降幂 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 化为 $\sin 2x+\cos 2x$，辅助角合一后 $T=\pi$、最大值 $\sqrt{2}-1$

避坑指南：降幂公式方向别反（$2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$）；取最大值时令 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$，解出的 $x$ 要写成集合并带 $k\in \mathbf{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“化一个函数”是三角解答题第一问的通用策略。

结论推广：$a\sin t+b\cos t=\sqrt{a^2+b^2}\sin (t+\phi )$，$\tan \phi =\frac{b}{a}$；振幅 $\sqrt{2}$、周期减半由 $\omega =2$ 决定。

方法推广：求最值点必须回到相位方程 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$，逐项解出 $x$ 并加整数周期。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-16 解-三角周期与单调
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调
• 2012-大纲卷文-15 填-辅助角求最值点