2010-湖南卷理-03 单-参数方程

本题导读

本题考查极坐标方程与参数方程转化为普通方程并判定曲线类型。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 极坐标方程 $\rho =\cos \theta$ 和参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-1-t\\ y=2+3t\end{array}$ ($t$ 为参数) 所表示的图形分别是 ()

A. 圆、直线　　　B. 直线、圆　　　C. 圆、圆　　　D. 直线、直线

🔍【思路分析】

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1. $\rho =\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$ 转为直角坐标方程并判断图形。
2. 参数方程消去参数 $t$ 得到直角坐标方程并判断图形。

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 对于极坐标方程 $\rho =\cos \theta$： 两边同乘以 $\rho$ 得 ${\rho }^2=\rho \cos \theta$。 代入 ${\rho }^2=x^2+y^2$，$x=\rho \cos \theta$，得 $x^2+y^2=x⟹{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$，表示一个圆。
• 对于参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-1-t\\ y=2+3t\end{array}$： 由 $x=-1-t⟹t=-1-x$，代入 $y$ 的方程得 $y=2+3(-1-x)=-3x-1$，即 $3x+y+1=0$，表示一条直线。 故表示的图形分别为圆和直线。 故选 A.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化、参数方程消参。
2. 核心方法：公式法（$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$）、代入消参法。
3. 避坑指南：极坐标方程化直角坐标时两边乘 $\rho$ 需确认非原点特例不影响轨迹。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》基础例题。
2. 结论推广：$\rho =2r\cos \theta$ 表示以 $(r,0)$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2012-新课标卷理-23 解-极坐标与参数方程