2010-辽宁卷文-14 填-等差数列求通项

本题导读

考查等差数列。 $a_{2} = 1$ ， $a_{5} = 7$ ， $d = 2$ ， $a_{9} = a_{5} + 4 d = 15$ 。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)）设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 3$ ， $S_{6} = 24$ ，则 $a_{9} =$ .

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$S_{3} = 3 a_{2} = 3 \Rightarrow a_{2} = 1$ 。

$S_{6} - S_{3} = a_{4} + a_{5} + a_{6} = 3 a_{5} = 21 \Rightarrow a_{5} = 7$ 。

$3 d = a_{5} - a_{2} = 6 \Rightarrow d = 2$ 。

$a_{9} = a_{5} + 4 d = 7 + 8 = 15$ 。

✅【答案】

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$15$

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列性质（奇数项和 $=$ 项数 $\times$ 中间项）： $S_{3} = 3 a_{2} = 3 \Rightarrow a_{2} = 1;$ $S_{6} - S_{3} = a_{4} + a_{5} + a_{6} = 3 a_{5} = 24 - 3 = 21 \Rightarrow a_{5} = 7.$ 公差 $d = \frac{a _{5} - a _{2}}{5 - 2} = \frac{7 - 1}{3} = 2,$ 故 $a_{9} = a_{5} + 4 d = 7 + 8 = 15.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的前 $n$ 项和性质

核心方法：奇数项和 $=$ 项数 $\times$ 中间项

避坑指南： $S_{6} - S_{3}$ 是 $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 三项而不是两项； $3 d = a_{5} - a_{2}$ 的下标差是 $3$ 不是 $2$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源： $S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}$ 是等差数列最好用的求和性质。

结论推广： $a_{n} = a_{m} + (n - m) d$ 避免每次回头求首项。

方法推广：基本量法（ $a_{1}, d$ 两方程）是保底做法，性质法是提速做法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项

2009-山东卷文-13 填-等差数列

2009-安徽卷文-05 单-等差数列基本量

2009-新课标卷文-08 单-等差数列中项求和

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2010-辽宁卷文-14 填-等差数列求通项

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