2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标

本题导读

考查坐标系与参数方程。(1) $M\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$；(2) $\{\begin{array}{l}x=1+\left(\frac{\pi }{6}-1\right)t,\\ y=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}t\end{array}$ ($t\in \mathbf{R}$)。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程） 已知 $P$ 为半圆 $C:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta ,\\ y=\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数，$0⩽\theta ⩽\pi$) 上的点，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$，$O$ 为坐标原点，点 $M$ 在射线 $OP$ 上，线段 $OM$ 与 $C$ 的弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}$ 的长度均为 $\frac{\pi }{3}$.

(1) 以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 $M$ 的极坐标；

(2) 求直线 $AM$ 的参数方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 半圆半径为 $1$，弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}$ 长 $\frac{\pi }{3}$ 对应圆心角 $\theta =\frac{\pi }{3}$，$P\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
2. $M$ 在射线 $OP$ 上且 $|OM|=\frac{\pi }{3}$，极坐标 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$。
3. $M$ 的直角坐标 $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\right)$，方向 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{\pi }{6}-1,\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\right)$，写出参数方程。

✅【答案】

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(1) $M\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$

(2) $\{\begin{array}{l}x=1+\left(\frac{\pi }{6}-1\right)t,\\ y=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}t\end{array}$ ($t\in \mathbf{R}$)

✍【详细解析】

Abstract

(1) 半圆 $C$ 的半径为 $1$，点 $A$ 对应参数 $\theta =0$。 弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}$ 的长等于圆心角（弧度）， 由弧长为 $\frac{\pi }{3}$ 得 $P$ 对应参数 $\theta =\frac{\pi }{3}$， $P=\left(\cos \frac{\pi }{3},\sin \frac{\pi }{3}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$ $M$ 在射线 $OP$ 上且 $|OM|=\frac{\pi }{3}$， 故点 $M$ 的极坐标为 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right).$ (2) 化为直角坐标： $M=\left(\frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{3}\right)=\left(\frac{\pi }{6},\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\right).$ 方向向量 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{\pi }{6}-1,\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\right),$ 故直线 $AM$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\left(\frac{\pi }{6}-1\right)t,\\ y=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}t\end{array}(t\in \mathbf{R}).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与极坐标

核心方法：单位圆上弧长即圆心角，极坐标 $(\rho ,\theta )$ 直接读出

避坑指南：极坐标 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$ 第一个是极径、第二个是极角，次序别颠倒；直线参数方程的方向向量取 $\overrightarrow{AM}$ 即可，不强制单位向量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}$ 是单位圆，$\theta$ 的几何意义是圆心角。

结论推广：极坐标与直角坐标互化：$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$。

方法推广：过定点的直线参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-23 解-参数方程与距离最值
• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2009-广东卷文-14 填-参数方程垂直
• 2011-广东卷文-14 填-参数方程交点