2010-辽宁卷理-23 解-参数方程

本题导读

本题考查极坐标与参数方程选讲模块，重点考查极坐标的概念、弧长与极角的关系以及直线参数方程的构造与表示。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） 已知 $P$ 为半圆 $C:\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta \end{array}(\theta \text{ 为参数},0\le \theta \le \pi )$ 上的点，点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$，$O$ 为坐标原点，点 $M$ 在射线 $OP$ 上，线段 $OM$ 与 $C$ 的弧 $\widehat{AP}$ 的长度均为 $\frac{\pi }{3}$.

(1)以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 $M$ 的极坐标；

(2)求直线 $AM$ 的参数方程.

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问：半圆 $C$ 的半径为 $R=1$。根据弧长公式 $l=R\theta$ 得极角 $\theta =\frac{\pi }{3}$，结合线段 $OM=\frac{\pi }{3}$ 确定极径 $\rho$，即可得到点 $M$ 的极坐标 $(\rho ,\theta )$。
2. 第（2）问：利用极坐标与直角坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 求出点 $M$ 的直角坐标，再结合点 $A(1,0)$，写出直线 $AM$ 的参数方程。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）由半圆 $C$ 的参数方程可知，半圆 $C$ 的半径 $R=1$，圆心为原点 $O(0,0)$。 点 $A(1,0)$ 对应的极角为 $0$。

因为弧 $\widehat{AP}$ 的长度为 $\frac{\pi }{3}$，根据弧长公式 $l=R\cdot \theta$，得： $1\cdot \theta =\frac{\pi }{3}⟹\theta =\frac{\pi }{3}$ 所以射线 $OP$ 的极角为 $\frac{\pi }{3}$。

又因为点 $M$ 在射线 $OP$ 上，且 $|OM|=\frac{\pi }{3}$， 所以点 $M$ 的极径为 $\rho =\frac{\pi }{3}$，极角为 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

故点 $M$ 的极坐标为 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$。

---

（2）由点 $M$ 的极坐标 $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$ 可得其直角坐标： $x_M=\frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$ $y_M=\frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}$

即 $M\left(\frac{\pi }{6},\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\right)$。

因为直线 $AM$ 过点 $A(1,0)$，其方向向量可取为： $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{\pi }{6}-1,\frac{\sqrt{3}\pi }{6}\right)$

故直线 $AM$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=1+\left(\frac{\pi }{6}-1\right)t\\ y=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}t\end{array}(t\text{ 为参数})$

注：亦可整理为以下化简形式： $\{\begin{array}{l}x=1+(\pi -6)t\\ y=\sqrt{3}\pi t\end{array}(t\text{ 为参数})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标的物理与几何意义（极径与极角）、极坐标转化为直角坐标、直线的参数方程表示。
2. 核心方法：弧长公式 $l=r\theta$ 是求极角的关键；直线的参数方程以 $A(1,0)$ 为基点，沿方向向量平移展开。
3. 避坑指南：注意极坐标的形式为 $(\rho ,\theta )$，极径 $\rho \ge 0$；直线参数方程不唯一，写出符合方向特征的表达式即可，必须标注“$t$ 为参数”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高考选修 4-4 坐标系与参数方程选讲模块，将圆的弧长、极坐标与直线的参数方程相结合，全面考查坐标系的综合转换能力。
2. 结论推广：对极坐标下点 $M({\rho }_0,{\theta }_0)$ 与直角坐标点 $A(x_0,y_0)$，过 $A,M$ 的直线参数方程可统一表示为 $\{\begin{array}{l}x=x_0+({\rho }_0\cos {\theta }_0-x_0)t\\ y=y_0+({\rho }_0\sin {\theta }_0-y_0)t\end{array}(t\text{ 为参数})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2012-新课标卷理-23 解-极坐标与参数方程