2010-重庆卷文-01 单-二项式定理特定项

本题导读

考查二项式定理。$(x+1{)}^4$ 展开式通项 ${\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}$，$x^2$ 项对应 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_4^2=6$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） $(x+1{)}^4$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为()

A. $4$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $20$

🔍【思路分析】

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1. 写出通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}{1}^k$。
2. 令 $x$ 的指数 $4-k=2$ 得 $k=2$，系数即 ${\mathrm{C}}_4^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(x+1{)}^4$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}.$ 令 $4-k=2$，得 $k=2$，故 $x^2$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2}=6.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理求特定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}$，令 $4-k=2$ 得 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_4^2=6$

避坑指南：通项是 $T_{k+1}$ 不是 $T_k$；$x$ 的指数是 $4-k$ 而非 $k$（因为 $x$ 在前、$1$ 在后）；组合数别算成排列数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式展开求指定项是固定题型，写通项、定指数、算系数三步。

结论推广：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；${\mathrm{C}}_4^2=6$。

方法推广：先写通项，再令指数等于目标值解 $k$，最后代入组合数；注意”系数”与”二项式系数”的区分。

🔗【关联脉络】

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