2010-重庆卷文-17 解-排列古典概型

本题导读

考查古典概型。6 单位全排列 $6!$；（1）甲乙各取一个偶数序号 $3\times 2$，其余 $4!$，概率 $\frac{3\times 2\times 4!}{6!}=\frac{1}{5}$；（2）甲乙相邻 $2\times 5!$，不对邻概率 $1-\frac{2\times 5!}{6!}=\frac{2}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 在甲、乙等 6 个单位参加的一次”唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 $1,2,\cdots ,6$），求：

(1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；

(2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 样本空间：6 个单位的全排列，基本事件总数 $6!$。 2.（1）偶数序号 2、4、6 有 3 个：甲乙先选排两个不同偶数位 $3\times 2$，其余 4 单位任意排 $4!$。 3.（2）正难则反：甲乙相邻视作整体 $2\times 5!$，不对邻 $=1-P(\text{相邻})$。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{5}$

(2) $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

把 6 个单位的演出顺序看作 6 个不同元素的全排列，样本空间的基本事件总数为 $6!$. （1）偶数序号有 2，4，6 共 3 个. 先给甲、乙安排两个不同的偶数序号，有 $3\times 2$ 种方法；其余 4 个单位任意排列，有 $4!$ 种方法. 因此所求概率为 $P_1=\frac{3\times 2\times 4!}{6!}=\frac{6}{6\times 5}=\frac{1}{5}.$ （2）甲、乙相邻时，把甲、乙看作一个整体，该整体内部有甲乙、乙甲两种顺序，故相邻的排列数为 $2\times 5!$. 因此不相邻的概率为 $P_2=1-\frac{2\times 5!}{6!}=1-\frac{2}{6}=\frac{2}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与排列

核心方法：样本空间 $6!$；（1）$P=\frac{3\times 2\times 4!}{6!}=\frac{1}{5}$；（2）相邻 $2\times 5!$，$P=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

避坑指南：“均为偶数”：偶数序号有 3 个（2、4、6），甲乙有序分配 $3\times 2$；“不相邻”用对立事件”相邻”算，捆绑整体内部还有 $2!$ 种顺序别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列概率题：确定样本空间（全排列 $n!$），再按限制数目标事件。

结论推广：$n!$ 全排列；捆绑法把相邻元素视为整体再乘内部排序；对立事件 $P=1-P(\bar{A})$。

方法推广：先定样本空间计数方式（有序排列 vs 无序组合），再数目标事件；“至少/不相邻”优先考虑对立事件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-11 单-限制排列
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2011-重庆卷文-14 填-古典概型组合
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率