2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值

本题导读

考查导数与奇函数。$g(x)=a{x}^3+(1+3a)x^2+(b+2)x+b$ 为奇函数，$1+3a=0$、$b=0$，故 $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2$，$g(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+2x$。$g^{\prime }(x)=2-x^2$：$|x|<\sqrt{2}$ 增、$|x|>\sqrt{2}$ 减。$[1,2]$ 上先增后减，最大值 $g(\sqrt{2})=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，最小值 $\min (g(1),g(2))=\min (\frac{5}{3},\frac{4}{3})=\frac{4}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+x^2+bx$（其中常数 $a$，$b\in \mathbf{R}$），$g(x)=f(x)+f^{\prime }(x)$ 是奇函数.

(1)求 $f(x)$ 的表达式；

(2)讨论 $g(x)$ 的单调性，并求 $g(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1.（1）求 $f^{\prime }$，写 $g(x)$；奇函数要求偶次项（$x^2$ 项与常数项）系数为零。 2.（2）$g^{\prime }(x)=2-x^2$，按 $x$ 与 $\pm \sqrt{2}$ 的大小讨论单调区间。 3. $[1,2]$ 含极值点 $\sqrt{2}$，比较 $g(1)$、$g(\sqrt{2})$、$g(2)$。

✅【答案】

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(1) $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2$

(2) $g(x)$ 在 $(-\infty ,-\sqrt{2})$、$(\sqrt{2},+\infty )$ 上递减，在 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ 上递增；最大值 $\frac{4\sqrt{2}}{3}$，最小值 $\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2x+b$，所以 $g(x)=a{x}^3+(1+3a)x^2+(b+2)x+b.$ 因为 $g(x)$ 是奇函数，偶次项系数必须为零，故 $1+3a=0$，$b=0$，即 $a=-\frac{1}{3}$. 因而 $f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+x^2.$ （2）此时 $g(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+2x$，所以 $g^{\prime }(x)=2-x^2$. 当 $x<-\sqrt{2}$ 或 $x>\sqrt{2}$ 时，$g^{\prime }(x)<0$；当 $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$ 时，$g^{\prime }(x)>0$. 因此 $g(x)$ 在 $(-\infty ,-\sqrt{2})$ 和 $(\sqrt{2},+\infty )$ 上单调递减，在 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ 上单调递增. 在 $[1,2]$ 上，$g(x)$ 先增后减，故最大值为 $g(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}{)}^3}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$ 又 $g(1)=-\frac{1}{3}+2=\frac{5}{3}$，$g(2)=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3}$，所以最小值为 $\frac{4}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数条件定参 + 导数单调与最值

核心方法：$g$ 奇 $\Rightarrow$ 偶次项系数 $1+3a=0$、常数项 $b=0$；$g^{\prime }(x)=2-x^2$ 定单调；$[1,2]$ 上 max $=\frac{4\sqrt{2}}{3}$、min $=\frac{4}{3}$

避坑指南：多项式奇函数 $⟺$ 奇次项之外系数全为零（$x^2$ 项与常数项）；$[1,2]$ 含极值点 $x=\sqrt{2}$，最大值在极值点、最小值在端点比较（$g(1)=\frac{5}{3}>g(2)=\frac{4}{3}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$g=f+f^{\prime }$ 是奇函数”给出两个方程；最值 = 比较端点与极值点。

结论推广：多项式函数奇偶性由系数奇偶决定；$g^{\prime }=0$ 的根划分单调区间；闭区间最值在端点或极值点取得。

方法推广：先由奇偶性定参数，再求导列表；闭区间求最值时把所有候选点函数值算出来比较，别只挑一个。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2009-陕西卷文-20 解-三次函数单调与交点