2010-陕西卷文-04 单-平均数与标准差

本题导读

考查平均数与标准差的直观比较。$A$ 组数据整体偏低且波动大，$B$ 组整体偏高且集中，故 $x_A<x_B$，$s_A>s_B$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 如图，样本 $A$ 和 $B$ 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 $x_A$ 和 $x_B$，样本标准差分别为 $s_A$ 和 $s_B$，则()

A. $x_A>x_B$，$s_A>s_B$　　　　　　　　　　　　　　　B. $x_A<x_B$，$s_A>s_B$

C. $x_A>x_B$，$s_A<s_B$　　　　　　　　　　　　　　　D. $x_A<x_B$，$s_A<s_B$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平均数看点的高低：$B$ 组各点整体高于 $A$ 组，故 $x_A<x_B$。
2. 标准差看波动：$A$ 组数据在 $2\sim 10$ 间大幅震荡，$B$ 组稳定在 $10\sim 15$ 之间，故 $s_A>s_B$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

读图：样本 $A$ 的六个数据约为 $2,10,5,8,2,10$，均值约 $\frac{37}{6}\approx 6.2$；样本 $B$ 的六个数据约为 $15,10,12.5,10,12.5,10$，均值约 $\frac{70}{6}\approx 11.7$. 所以 $x_A<x_B$. 波动程度：$A$ 组数据在 $2$ 与 $10$ 之间大幅震荡，偏离均值远；$B$ 组数据集中在 $10\sim 15$ 之间，偏离均值近，所以 $s_A>s_B$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平均数与标准差的图象判断

核心方法：$A$ 组均值低、波动大：$x_A<x_B$，$s_A>s_B$

避坑指南：平均数看点的高低，标准差看点的离散程度，两个量互不替代；$A$ 组在 $2\sim 10$ 间震荡、$B$ 组集中在 $10\sim 15$，是”低而散”对”高而稳”；别把”波动大”误解为均值大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折线图/点图比较数字特征是统计小题的经典题型，2009 重庆文第 14 题同考样本标准差。

结论推广：$s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$；数据越集中 $s$ 越小；均值 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$。

方法推广：先估均值再估波动，必要时取两三个代表点粗算；四个选项按 $x_A$ 与 $x_B$ 的大小先排除两项，再比 $s_A$ 与 $s_B$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-05 单-样本均值估计
• 2009-重庆卷文-14 填-样本标准差
• 2012-山东卷文-04 单-样本的数字特征
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差