2010-陕西卷文-15 填-三选一

本题导读

三选一。A：$|2x-1|<3$ 解集 $(-1,2)$；B：$AC$ 为直径得 $CD\perp AB$，$CD=\frac{12}{5}$，$BD=\sqrt{4^2-{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{16}{5}$；C：消参得 $x^2+(y-1{)}^2=1$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题） 不等式 $|2x-1|<3$ 的解集为 $\underline{}$.

B.（几何证明选做题） 如图，已知 $\mathrm{Rt}△ABC$ 的两条直角边 $AC$，$BC$ 的长分别为 $3$ cm，$4$ cm，以 $AC$ 为直径的圆与 $AB$ 交于点 $D$，则 $BD=$ $\underline{}$.

C.（坐标系与参数方程选做题） 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha ,\\ y=1+\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数）化成普通方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

A：按 $|u|<a⟺-a<u<a$ 展开解不等式。 B：直径所对的圆周角是直角 $\Rightarrow CD\perp AB$；用等面积法在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中求出 $CD$，再在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中用勾股定理求 $BD$。 C：由 $x=\cos \alpha$ 得 $x^2={\cos }^2\alpha$，由 $y-1=\sin \alpha$ 得 $(y-1{)}^2={\sin }^2\alpha$，两式相加消去 $\alpha$。

✅【答案】

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A. $(-1,2)$；B. $\frac{16}{5}$ cm；C. $x^2+(y-1{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

A：由 $|2x-1|<3$ 得 $-3<2x-1<3$，即 $-2<2x<4$，解得 $-1<x<2$，故解集为 $(-1,2)$.

B：连接 $CD$. $AC$ 为直径，点 $D$ 在圆上，故 $\angle ADC=90^{\circ }$，即 $CD\perp AB$. $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，由等面积法 $CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3\times 4}{5}=\frac{12}{5}.$ 在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中（$\angle BDC=90^{\circ }$）， $BD=\sqrt{B{C}^2-C{D}^2}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}(\mathrm{cm}).$

C：由 $x=\cos \alpha$，$y-1=\sin \alpha$，两式平方相加得 $x^2+(y-1{)}^2={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1,$ 故普通方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$（圆心 $(0,1)$，半径 $1$）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式 / 圆幂定理 / 参数方程消参（三选一）

核心方法：A：$(-1,2)$；B：$CD=\frac{12}{5}$，$BD=\frac{16}{5}$；C：$x^2+(y-1{)}^2=1$

避坑指南：A：$|u|<a$ 展开为 $-a<u<a$，勿写成 $u<a$；B：直径对直角得 $CD\perp AB$ 是全题枢纽，等面积求 $CD$ 后用勾股而非硬解比例；C：平方相加前先移项 $y-1=\sin \alpha$，别直接把 $y^2$ 加进式子。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲中的直径圆周角与切割线/相交弦是选讲题的主力，2009 广东文第 15 题同考圆周角与面积。

结论推广：直径所对的圆周角为直角；$\mathrm{Rt}△$ 斜边上的高 $h=\frac{ab}{c}$；参数方程 $(\cos \alpha ,1+\sin \alpha )$ 表示圆心 $(0,1)$、半径 $1$ 的圆。

方法推广：选做题按”会哪道做哪道”的原则先扫一遍；几何证明选讲抓住”直径 $\to$ 直角”的第一步转化，剩余就是解直角三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 17.07 圆幂定理
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-15 填-圆周角与面积
• 2009-江西卷文-15 填-半圆不等式解集
• 2009-广东卷文-14 填-参数方程垂直
• 2009-新课标卷文-23 解-参数方程与距离最值