2010-陕西卷理-15 填-参数方程

本题导读

本题为陕西高考三选一选做填空题，包含【A】绝对值不等式、【B】几何证明选讲（圆幂定理）、【C】坐标系与参数方程三个选考方向。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 15. 三选一.

【A】 不等式 $|x+3|-|x-2|\ge 3$ 的解集为$\underline{}$.

【B】 如图，已知 $\mathrm{Rt}△ABC$ 的两条直角边 $AC,BC$ 的长分别为 $3\text{ cm},4\text{ cm}$，以 $AC$ 为直径的圆与 $AB$ 交于点 $D$，则 $\frac{BD}{DA}=$ $\underline{}$.

【C】 已知圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y=1+\sin \alpha \end{array}(\alpha \text{ 为参数})$，以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \theta =1$，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点的直角坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

• 【A】选做题：分析零点 $x=-3$ 和 $x=2$，分段讨论去绝对值；或利用几何意义：数轴上点 $x$ 到 $-3$ 的距离与到 $2$ 的距离之差大于等于 $3$。
• 【B】选做题：由勾股定理求出 $AB=5\text{ cm}$。利用切割线定理 $B{C}^2=BD\cdot BA$ 求出 $BD$，再计算 $DA=AB-BD$，即可求比值 $\frac{BD}{DA}$。
• 【C】选做题：将圆 $C$ 的参数方程消去参数 $\alpha$ 得普通方程 $x^2+(y-1{)}^2=1$；将极坐标方程 $\rho \sin \theta =1$ 转为直角坐标方程 $y=1$。联立解交点坐标。

✅【答案】

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$x\mid x⩾1$

✍【详细解析】

Abstract

【A】不等式解法

解法一：分段讨论法 令 $x+3=0⟹x=-3$，令 $x-2=0⟹x=2$。

1. 当 $x<-3$ 时： $-(x+3)-[-(x-2)]\ge 3⟹-x-3+x-2\ge 3⟹-5\ge 3\text{（不成立，无解）}$

2. 当 $-3\le x\le 2$ 时： $(x+3)-[-(x-2)]\ge 3⟹x+3+x-2\ge 3⟹2x+1\ge 3⟹2x\ge 2⟹x\ge 1$ 结合条件 $-3\le x\le 2$，解集为 $1\le x\le 2$。

3. 当 $x>2$ 时： $(x+3)-(x-2)\ge 3⟹5\ge 3\text{（恒成立）}$ 结合条件 $x>2$，解集为 $x>2$。

综合上述三种情况，原不等式的解集为 $\{x\mid x\ge 1\}$（或 $[1,+\infty )$）。

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【B】几何证明解法

在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，已知直角边 $AC=3\text{ cm}$，$BC=4\text{ cm}$，$\angle ACB=90^{\circ }$。 由勾股定理： $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}$

因为 $AC$ 是圆的直径，且 $\angle ACB=90^{\circ }$，所以 $BC$ 是该圆的切线，切点为 $C$。 由切割线定理可得： $B{C}^2=BD\cdot AB$ $4^2=BD\cdot 5⟹BD=\frac{16}{5}\text{ cm}$

所以： $DA=AB-BD=5-\frac{16}{5}=\frac{9}{5}\text{ cm}$

计算比值： $\frac{BD}{DA}=\frac{\frac{16}{5}}{\frac{9}{5}}=\frac{16}{9}$

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【C】坐标系与参数方程解法

第一步：化圆 $C$ 的参数方程为直角坐标普通方程 圆 $C$ 的参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=\cos \alpha \\ y-1=\sin \alpha \end{array}$ 两边平方相加消去参数 $\alpha$： $x^2+(y-1{)}^2={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 即圆 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2+(y-1{)}^2=1$。

第二步：化直线 $l$ 的极坐标方程为直角坐标方程 由极坐标与直角坐标转换公式 $y=\rho \sin \theta$，将 $\rho \sin \theta =1$ 化为直角坐标方程为： $y=1$

第三步：求交点坐标 将 $y=1$ 代入圆的方程 $x^2+(1-1{)}^2=1⟹x^2=1⟹x=\pm 1$。

故直线 $l$ 与圆 $C$ 的交点直角坐标为 $(1,1)$ 和 $(-1,1)$。

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【最终答案】 【A】 $\{x\mid x\ge 1\}$ （或 $[1,+\infty )$） 【B】 $\frac{16}{9}$ 【C】 $(1,1)$ 和 $(-1,1)$ （或 $(1,1),(-1,1)$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式分段求解；切割线定理（$B{C}^2=BD\cdot BA$）；参数方程与极坐标方程互化。
2. 核心方法：

• 【A】找零点分区间去除绝对值号；
• 【B】认准圆的切线与割线关系，注意 $BC$ 是过直径端点的切线；
• 【C】极坐标转化关系 $y=\rho \sin \theta$，${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 恒等式消参。

3. 避坑指南：选做题填空时只需填写所选择的一道题对应的正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：陕西卷旧高考选修模块三选一基础考查题。
2. 结论推广：在直角三角形中，以直角边 $AC$ 为直径的圆交斜边 $AB$ 于 $D$，必有 $\frac{BD}{DA}=\frac{B{C}^2}{A{C}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2012-新课标卷理-23 解-极坐标与参数方程