2011-上海卷文-08 填-正弦定理求距离

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 在相距 $2$ 千米的 $A$，$B$ 两点处测量目标点 $C$，若 $\angle CAB=75^{\circ }$，$\angle CBA=60^{\circ }$，则 $A$，$C$ 两点之间的距离是$\underline{}$千米.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：求第三角 $\angle C=45^{\circ }$
2. 步骤2：$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

✅【答案】

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$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$\angle C=180^{\circ }-75^{\circ }-60^{\circ }=45^{\circ }$。

由正弦定理 $\frac{AC}{\sin \angle CBA}=\frac{AB}{\sin \angle ACB}$：

$AC=\frac{2\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$（千米）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形内角和与正弦定理

核心方法：先求第三角，再用对边对角正弦定理求目标边

避坑指南：$AC$ 的对角是 $\angle CBA=60^{\circ }$（不是 $75^{\circ }$）；$\angle C=45^{\circ }$ 要先算对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理测距题与 2011-北京卷文-09、2012-福建卷文-13、2012-北京卷文-11 同族。

结论推广：推广：两点测角定型问题中，目标距离 $=\frac{d\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$（$d$ 为基线长，$\alpha ,\beta$ 为两基角）。

方法推广：解三角形测量题：画图标角，明确”所求边的对角”，一套正弦定理收尾。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-09 填-正弦定理求边
• 2012-福建卷文-13 填-正弦定理求边
• 2012-北京卷文-11 填-正弦定理解三角形