2011-上海卷文-20 解-异面直线角与体积

本题导读

本题考查异面直线所成的角，以及几何体的体积。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 已知 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是底面边长为 $1$ 的正四棱柱，高 $A{A}_1=2$，求：

(1) 异面直线 $BD$ 与 $A{B}_1$ 所成角的余弦值；

(2) 四面体 $A{B}_1{D}_{1}C$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：平移 $BD$ 至 $B_1{D}_1$
2. 步骤2：$\angle A{B}_1{D}_1$（或其补角）即异面直线所成角
3. 步骤3：四面体体积用间接法割补

✅【答案】

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(1) $\frac{\sqrt{10}}{10}$

(2) $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因 $BD\parallel B_1{D}_1$，异面直线 $BD$ 与 $A{B}_1$ 所成角即 $B_1{D}_1$ 与 $A{B}_1$ 所成角。

连 $A{D}_1$。$B_1{D}_1=\sqrt{2}$，$A{B}_1=\sqrt{5}$，$A{D}_1=\sqrt{5}$。

$\cos \theta =\frac{A{B}_1^2+B_1{D}_1^2-A{D}_1^2}{2\cdot A{B}_1\cdot B_1{D}_1}=\frac{5+2-5}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

(2) 以 $A$ 为原点建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$B_1(1,0,2)$，$D_1(0,1,2)$。

$V_{A{B}_1{D}_{1}C}=\frac{1}{6}\left|\det \left[\overrightarrow{A{B}_1},\overrightarrow{A{D}_1},\overrightarrow{AC}\right]\right|=\frac{1}{6}\left|\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\right|=\frac{1}{6}\times 4=\frac{2}{3}$。

（行列式展开：$1\cdot (1\cdot 0-2\cdot 1)-0+2\cdot (0\cdot 1-1\cdot 1)=-2-2=-4$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的平移法；四面体体积（割补或向量）

核心方法：(1) 平移一条线到同一平面再用余弦定理；(2) 建系用混合积或割补求体积

避坑指南：异面直线所成角取”锐角或直角”，余弦取绝对值（本题恰为正）；四面体四个顶点中 $A$ 与 $C$ 是体对角线两端，底面不要错取 $△ACD$ 的高为 $2$ 时底面应是含 $A$、$C$、$D$ 的图形——稳妥做法是坐标混合积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱柱中的角与体积题与 2012-上海卷文-19、2013-上海卷文-10、2012-重庆卷文-20 同族。

结论推广：推广：正四棱柱中 $BD\parallel B_1{D}_1$、$AC\parallel A_1{C}_1$ 等平移关系大量存在；四面体 $A{B}_1{D}_{1}C$ 的体积是整柱体积的 $\frac{1}{3}$。

方法推广：立体几何解答：先找平行线完成”异面化共面”，角度用余弦定理；体积优先建系混合积，避免割补出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-19 解-三棱锥体积与异面直线角
• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角
• 2012-重庆卷文-20 解-直三棱柱中的角与距离