2011-上海卷文-23 解-数列交并分组求和

本题导读

本题考查等差数列的公共项，以及数列的项数计数。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)）已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 3 n + 6$ 、 $b_{n} = 2 n + 7$ （ $n \in N^{*}$ ），将集合 ${x ∣ x = a_{n}, n \in N^{*}} \cup {x ∣ x = b_{n}, n \in N^{*}}$ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， $\dots$ ， $c_{n}$ ， $\dots$ .

(1) 求三个最小的数，使它们既是数列 ${a_{n}}$ 中的项，又是数列 ${b_{n}}$ 中的项；

(2) 数列 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， $\dots$ ， $c_{40}$ 中有多少项不是数列 ${b_{n}}$ 中的项？请说明理由；

(3) 求数列 ${c_{n}}$ 的前 $4 n$ 项和 $S_{4 n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

🔍【思路分析】

破题导航

步骤1：(1) 解 $3 n + 6 = 2 k + 7$ 找最小公共项

步骤2：(2) 明确 $c$ 的构成规律后按块计数

步骤3：(3) 按 $4$ 项一组求和再累加

✅【答案】

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(1) $9$ ， $15$ ， $21$

(2) $10$ 项

(3) $S_{4 n} = 12 n^{2} + 33 n$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 公共项满足 $3 n + 6 = 2 k + 7$ ，即 $3 n - 2 k = 1$ ，最小的正整数解为 $n = 1, k = 1$ ； $n = 3, k = 4$ ； $n = 5, k = 7$ ，对应三项 $9$ ， $15$ ， $21$ 。

(2) $b_{n} = 2 n + 7$ 是全体大于 $7$ 的奇数； $a_{n} = 3 n + 6$ 中 $n$ 为奇数时是奇数（且可写成 $2 k + 7$ 形式）， $n$ 为偶数时 $a_{2 m} = 6 m + 6$ 是 $6$ 的倍数，不属于 ${b_{n}}$ 。

故 $c$ 数列由”不小于 $9$ 的全体奇数”与” $12, 18, 24, \dots$ （ $6$ 的倍数）“合成。 $c_{1}, \dots, c_{40}$ 依次为

$9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 42, 43, 45, 47, 48, 49, 51, 53, 54, 55, 57, 59, 60, 61, 63, 65, 66, 67$ 。

其中不是 ${b_{n}}$ 中的项为 $12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66$ ，共 $10$ 项。

(3) 观察 $c$ 的结构： $c_{4 k - 3} = 6 k + 3$ ， $c_{4 k - 2} = 6 k + 5$ ， $c_{4 k - 1} = 6 k + 6$ ， $c_{4 k} = 6 k + 7$ （ $k = 1, 2, \dots$ ，即奇数与 $6$ 的倍数交替出现）。

逐组核对：组 $1$ ： $9, 11, 12, 13$ （和 $45$ ）；组 $2$ ： $15, 17, 18, 19$ （和 $69$ ）；组 $3$ ： $21, 23, 24, 25$ （和 $93$ ）……组和构成首项 $45$ 、公差 $24$ 的等差数列，第 $k$ 组和为 $6 k + 3 + 6 k + 5 + 6 k + 6 + 6 k + 7 = 24 k + 21$ 。

故 $S_{4 n} = k = 1 \sum n (24 k + 21) = 24 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + 21 n = 12 n^{2} + 33 n$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两等差数列的公共项；并集数列的分组结构；分组求和

核心方法：公共项解不定方程取最小解；把 $c$ 按” $4$ 项一组”找均匀结构，组求和成等差再累加

避坑指南： $c$ 是”集合”排列（重复元素只留一个）， $9, 15, 21$ 等公共项只出现一次；(3) 中每组和是 $21 + 24 k$ 而非 $48 k - 3$ （开头若干组结构有调整，须逐组核对再归纳）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列交并与新定义题与 2012-上海卷文-23、2013-上海卷文-23、2011-北京卷文-20 同族。

结论推广：推广： $a_{n} = p n + q$ 、 $b_{n} = r n + s$ 的公共项构成 $lcm (p, r)$ 的等差数列（本题 $lcm (3, 2) = 6$ ，但 ${a_{n}}$ 的奇数项已含于 ${b_{n}}$ ， $c$ 中新增项恰为 $6$ 的倍数）； $c$ 的分组结构周期为 $12$ 。

方法推广：并集数列题：先弄清两数列的奇偶/模结构（本题”奇数”与” $6$ 的倍数”），再把 $c$ 分块找均匀模式，最后用组和的等差性求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.07 一般数列的性质

19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2012-上海卷文-23 解-控制数列新定义

2013-上海卷文-23 解-双曲线新定义

2011-北京卷文-20 解-E数列新定义

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