本题导读
本题考查简单线性规划的应用，以及整数线性规划。
📌【题干】
Question
（2011年四川卷(理)） 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数，可得最大利润 ()
A. 4650 元 B. 4700 元 C. 4900 元 D. 5000 元
🔍【思路分析】
破题导航
- 设当天派用甲型卡车 辆，乙型卡车 辆（）。
- 根据驾驶员、工人、车辆保有量及运货总量建立线性约束条件：
- 车辆数与驾驶员限制：；
- 工人数限制：；
- 货物总量限制：。
- 目标函数为最大利润：。
- 寻找可行域右上边界处的整点，代入目标函数比对最大值。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
设派用甲型卡车 辆，乙型卡车 辆，其中 。 由题意，约束条件为：
0 \leqslant x \leqslant 8 \\ 0 \leqslant y \leqslant 7 \\ x + y \leqslant 12 \quad (\text{驾驶员人数}) \\ 2x + y \leqslant 19 \quad (\text{工人数}) \\ 10x + 6y \geqslant 72 \implies 5x + 3y \geqslant 36 \quad (\text{运货量}) \end{cases}$$ 目标函数（利润）为： $$z = 450x + 350y$$ 斜率分析： 目标函数直线族为 $y = -\frac{9}{7}x + \frac{z}{350}$，斜率 $k_0 = -\frac{9}{7} \approx -1.286$。 边界直线斜率： - $x + y = 12$ 斜率为 $-1$； - $2x + y = 19$ 斜率为 $-2$。 因为 $-2 < -\frac{9}{7} < -1$，所以目标函数在直线 $x + y = 12$ 与 $2x + y = 19$ 的交点处取得最大值。
联立解交点： 检验此点：
- ；；
- 运货量：，满足所有约束条件。 计算该点处的目标函数值：
检验附近的整数点：
- 若 ，由 ： 当 时，运货量 ，此时 元；
- 若 （受 约束）： 元；
- 若 ： 元。 因此，最大利润为 4900 元。 故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域、目标函数的斜率比对、整点最优解确定。
- 核心方法：
- 寻找最优交点：通过目标函数等值线斜率介于哪两条边界线斜率之间，准确定位最优顶点；
- 验证整数性：求出交点坐标若为整数，直接代入即为最大值。
- 避坑指南：约束条件较多，容易漏掉“驾驶员总共 12 名”即 这一隐含约束。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：人教版必修五第三章“简单的线性规划问题”在生产与运输调配中的实际应用模型。
- 结论推广：对于包含整数约束的二维线性规划，当各约束矩阵系数为全单模矩阵（全幺模矩阵）时，松弛线性规划的顶点恒为整数解。
🔗【关联脉络】
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