2011-大纲卷理-13 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） $(1-\sqrt{x}{)}^{20}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数与 $x^9$ 的系数之差为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出 $(1-\sqrt{x}{)}^{20}$ 的二项展开式通项公式 $T_{r+1}$。
2. 分别令 $x$ 的指数等于 $1$ 和 $9$，求出对应的 $r$ 值及对应项系数。
3. 将两系数相减求差。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{20}^r{1}^{20-r}(-\sqrt{x}{)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_{20}^r{x}^{\frac{r}{2}}$。

• 令 $\frac{r}{2}=1$，得 $r=2$。 此时项为 $(-1{)}^2{\mathrm{C}}_{20}^{2}x={\mathrm{C}}_{20}^{2}x$， 所以 $x$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_{20}^2=\frac{20\times 19}{2}=190$。
• 令 $\frac{r}{2}=9$，得 $r=18$。 此时项为 $(-1{)}^{18}{\mathrm{C}}_{20}^{18}{x}^9={\mathrm{C}}_{20}^{18}{x}^9$， 由组合数性质知 $x^9$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_{20}^{18}={\mathrm{C}}_{20}^2=190$。 两系数之差为： $190-190=0$。

故答案为：0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开通项公式及组合数性质 ${\mathrm{C}}_n^r={\mathrm{C}}_n^{n-r}$。
• 核心方法：通项待定指数法。
• 避坑指南：注意项中负号 $(-1{)}^r$，偶数次幂为正，不可遗漏符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：基础二项式系数与项的系数计算。
• 结论推广：在 $(1-\sqrt{x}{)}^{2n}$ 的展开式中，$x^k$ 与 $x^{n-k}$ 的系数分别对应 $r=2k$ 与 $r=2n-2k$，由组合数对称性及 $(-1{)}^{2k}=(-1{)}^{2n-2k}=1$，其系数恒相等，差恒为 0。

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