2011-天津卷文-11 填-等差数列基本量

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和，$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$.若 $a_3=16$，$S_{20}=20$，则 $S_{10}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：设 $a_1,d$
2. 步骤2：联立 $a_3=16$ 与 $S_{20}=20$ 解出
3. 步骤3：再算 $S_{10}$

✅【答案】

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$110$

✍【详细解析】

Abstract

设首项 $a_1$、公差 $d$。$a_3=a_1+2d=16$；$S_{20}=20a_1+\frac{20\times 19}{2}d=20a_1+190d=20$。

两式相减：$188d-380d$ 化简——由 $a_1=16-2d$ 代入第二式：$20(16-2d)+190d=20$，即 $320+150d=20$，$d=-2$。

故 $a_1=16-2\times (-2)=20$。$S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=200+45\times (-2)=110$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量运算；前 n 项和公式

核心方法：两个独立条件解 $a_1,d$，再代入求和公式

避坑指南：$S_{20}=20a_1+190d$ 中 $\frac{20\times 19}{2}=190$，误用 $20d$ 会全错；解出的 $d$ 为负、$a_1$ 为正，代入 $S_{10}$ 时符号要保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量题与 2014-天津卷理-11、2013-新课标II卷理-16、2013-四川卷理-16 同族。

结论推广：推广：等差数列中 $S_{2n}=n(a_n+a_{n+1})$；本题亦可用 $S_{20}=10(a_{10}+a_{11})$ 等技巧减少运算。

方法推广：等差数列小题：基本量法是通法——设 $a_1,d$，把所有条件翻译成二元一次方程组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷理-11 填-等差数列的通项与前n项和
• 2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式