2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型

本题导读

本题考查频率分布，以及古典概型与列举法。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 编号分别为 $A_1,A_2,\cdots ,A_{16}$ 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$	$A_6$	$A_7$	$A_8$
得分	15	35	21	28	25	36	18	34

运动员编号	$A_9$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	$A_{16}$
得分	17	26	25	33	22	12	31	38

(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间	$[10,20)$	$[20,30)$	$[30,40]$
人数

(2) 从得分在区间 $[20,30)$ 内的运动员中随机抽取 2 人：

① 用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

② 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：按区间清点人数
2. 步骤2：对 6 人列举 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 个组合
3. 步骤3：数出和大于 50 的个数

✅【答案】

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(1) 人数依次为 $4$，$6$，$6$

(2) ① 共 $15$ 种；② 概率为 $\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 区间 $[10,20)$：$15,18,17,12$，共 $4$ 人；$[20,30)$：$21,28,25,26,25,22$，共 $6$ 人；$[30,40]$：$35,36,34,33,31,38$，共 $6$ 人。

(2)① 得分在 $[20,30)$ 内的运动员为 $A_3,A_4,A_5,A_{10},A_{11},A_{13}$。所有可能的抽取结果共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种：

$(A_3,A_4)$，$(A_3,A_5)$，$(A_3,A_{10})$，$(A_3,A_{11})$，$(A_3,A_{13})$，$(A_4,A_5)$，$(A_4,A_{10})$，$(A_4,A_{11})$，$(A_4,A_{13})$，$(A_5,A_{10})$，$(A_5,A_{11})$，$(A_5,A_{13})$，$(A_{10},A_{11})$，$(A_{10},A_{13})$，$(A_{11},A_{13})$。

② 其中得分之和大于 50 的有：$(A_4,A_5)=53$，$(A_4,A_{10})=54$，$(A_4,A_{11})=53$，$(A_5,A_{10})=51$，$(A_{10},A_{11})=51$，共 $5$ 种。

故所求概率 $P=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频数统计；古典概型的列举法

核心方法：先分档清点，再对样本点按字典序列举，保证不重不漏

避坑指南：$(A_4,A_{13})=28+22=50$ 与 $(A_5,A_{11})=25+25=50$ 都是”不大于 50”，不能计入；两个 25 分（$A_5$ 与 $A_{11}$）是不同运动员，组合要分开列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：列举法求概率与 2012-天津卷文-15、2013-广东卷文-17、2011-北京卷文-16 同族。

结论推广：推广：$n$ 人取 2 人的组合数 ${\mathrm{C}}_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$；列举时按编号字典序配对可保证无重无漏。

方法推广：古典概型解答题：先定样本空间总数（组合数），再按条件清点事件数，最后 $P=\frac{m}{n}$ 化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率