2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线），以及含参函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=4x^3+3t{x}^2-6t^{2}x+t-1$，$x\in \mathrm{R}$，其中 $t\in \mathrm{R}$.

(1) 当 $t=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2) 当 $t\ne 0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

(3) 证明：对任意的 $t\in (0,+\infty )$，$f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内均存在零点.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) $f^{\prime }(0)$ 定斜率
2. 步骤2：(2) 因式分解 $f^{\prime }(x)=6(x+t)(2x-t)$ 按 $t$ 的符号讨论
3. 步骤3：(3) 取 $f(\frac{1}{2})<0$ 配 $f(1)$ 或 $f(0)$ 的符号用零点存在定理

✅【答案】

点击查看答案

(1) $y=-6x$

(2) $t>0$ 时增区间为 $(-\infty ,-t)$、$(\frac{t}{2},+\infty )$，减区间为 $(-t,\frac{t}{2})$；$t<0$ 时增区间为 $(-\infty ,\frac{t}{2})$、$(-t,+\infty )$，减区间为 $(\frac{t}{2},-t)$

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $t=1$ 时 $f(x)=4x^3+3x^2-6x$，$f(0)=0$。$f^{\prime }(x)=12x^2+6x-6$，$f^{\prime }(0)=-6$，切线方程为 $y=-6x$。

(2) $f^{\prime }(x)=12x^2+6tx-6t^2=6(x+t)(2x-t)$。

当 $t>0$ 时，$-t<\frac{t}{2}$，$f^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,-t)$、$(\frac{t}{2},+\infty )$ 上为正，在 $(-t,\frac{t}{2})$ 上为负，故增区间为 $(-\infty ,-t)$、$(\frac{t}{2},+\infty )$，减区间为 $(-t,\frac{t}{2})$。

当 $t<0$ 时，$\frac{t}{2}<-t$，同理增区间为 $(-\infty ,\frac{t}{2})$、$(-t,+\infty )$，减区间为 $(\frac{t}{2},-t)$。

(3) 先算 $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{3t}{4}-3t^2+t-1=-3t^2+\frac{7t}{4}-\frac{1}{2}=-3{\left(t-\frac{7}{24}\right)}^2-\frac{47}{192}<0$。

当 $0<t⩽1$ 时，由 $t^2⩽t$ 得 $f(1)=3+4t-6t^2⩾3+4t-6t=3-2t⩾1>0$，由零点存在定理，$f(x)$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 内存在零点。

当 $t>1$ 时，$f(0)=t-1>0$，结合 $f(\frac{1}{2})<0$，$f(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 内存在零点。

综上，对任意 $t>0$，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内均存在零点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与切线方程；含参三次函数的单调性；零点存在定理

核心方法：$f^{\prime }(x)$ 因式分解后按两根大小分类；证零点用”取两点异号”+零点存在定理，关键点取 $\frac{1}{2},0,1$

避坑指南：$f(\frac{1}{2})$ 对 $t$ 配方后恒负，是全题支点；$0<t⩽1$ 时放缩 $-6t^2⩾-6t$ 方向不能反（$t^2⩽t$）；$t>1$ 时改用端点 $f(0)$，两段划分以 $t=1$ 为界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数综合题与 2013-新课标II卷文-21、2012-辽宁卷文-08、2013-北京卷文-18 同族。

结论推广：推广：三次函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 有零点的常用充分条件是区间内取到一对异号函数值；配方把 $f(\frac{1}{2})$ 化为”负定二次式 + 常数”是标准手法。

方法推广：含参导数题：先因式分解看清根的相对位置再分类；证存在性零点优先找特殊点（$0,\frac{1}{2},1$）算函数值，避免解方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2012-辽宁卷文-08 单-导数求单调区间
• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点