2011-广东卷文-12 填-奇偶求值

本题导读

本题考查函数的奇偶性（局部），以及余弦函数的偶性。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3\cos x+1$. 若 $f(a)=11$，则 $f(-a)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$x^3\cos x$ 是奇函数
2. 步骤2：$f(x)-1$ 为奇函数
3. 步骤3：由 $f(a)$ 值直接翻转

✅【答案】

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$-9$

✍【详细解析】

Abstract

令 $u(x)=x^3\cos x$，则 $u(-x)=(-x{)}^3\cos (-x)=-x^3\cos x=-u(x)$，$u$ 为奇函数，$f(x)=u(x)+1$。

$f(a)=u(a)+1=11$，$u(a)=10$。

$f(-a)=u(-a)+1=-u(a)+1=-10+1=-9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数在对称点的取值；$\cos x$ 的偶性与 $x^3$ 的奇性

核心方法：拆出奇部分 $x^3\cos x$，把条件翻译成 $u(a)=10$，翻转得 $u(-a)=-10$

避坑指南：$f(x)=x^3\cos x+1$ 整体不是奇函数（加 $1$），奇的是 $x^3\cos x$ 这一部分——直接写 $f(-a)=-f(a)=-11$ 是高频错误；$\cos (-a)=\cos a$ 是翻转时唯一用到的偶性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对称点求值题与 2011-湖南卷文-12、2013-辽宁卷文-07、2012-浙江卷文-16 同族。

结论推广：推广：$f(x)=u(x)+c$（$u$ 奇）满足 $f(-x)+f(x)=2c$，即 $f(-a)=2c-f(a)$；本题 $c=1$，$f(-a)=2-11=-9$，一步到位。

方法推广：“奇函数 + 常数”求值：对称两点函数值之和恒为 $2c$，比逐个代值更快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-12 填-奇函数求值
• 2013-辽宁卷文-07 单-奇函数对数求值
• 2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值