2011-新课标卷文-10 单-零点所在区间

本题导读

本题考查函数零点的存在性定理，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 在下列区间中，函数 $f(x)=e^x+4x-3$ 的零点所在的区间为 ()

A. $\left(-\frac{1}{4},0\right)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{4}\right)$　　　　C. $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$　　　　D. $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f^{\prime }(x)=e^x+4>0$ 单调递增
2. 步骤2：算 $f\left(\frac{1}{4}\right)$、$f\left(\frac{1}{2}\right)$ 的符号定区间

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=e^x+4x-3$ 的导数为 $f^{\prime }(x)=e^x+4>0$，所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

又 $f\left(\frac{1}{4}\right)=e^{1/4}-2<0$，$f\left(\frac{1}{2}\right)=e^{1/2}-1>0$，故其唯一零点在 $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ 内，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：零点存在性定理；单调函数至多一个零点

核心方法：先证单调（唯一性），再代端点算符号（存在性）

避坑指南：$e^{1/4}\approx 1.28<2$、$e^{1/2}\approx 1.65>1$ 是本题的关键估值；记不住精确值时用 $e^{1/2}\approx 1.6$、$e^{1/4}\approx 1.3$ 这类粗估值即可判号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点所在区间判断题，与 2012 年福建卷文第 12 题、2013 年天津卷文第 8 题同族。

结论推广：判断零点区间的标配三步：单调性（保证唯一）→ 端点函数值符号 → 由介值定理定位；$e^{0.5}\approx 1.65$、$e^{0.25}\approx 1.28$ 可作常用估值。

方法推广：零点区间题：先看单调性定唯一性，再从最小区间开始代端点估值，不必解方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-12 单-三次函数零点分布
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2013-天津卷文-08 单-函数零点比较