2011-新课标卷文-22 解-相交弦与四点共圆

本题导读

本题考查相交弦定理的逆定理（四点共圆），以及圆的半径计算。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 如图，$D$，$E$ 分别为 $△ABC$ 的边 $AB$，$AC$ 上的点，且不与 $△ABC$ 的顶点重合.已知 $AE$ 的长为 $m$，$AC$ 的长为 $n$，$AD$，$AB$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^2-14x+mn=0$ 的两个根.

(1) 证明：$C,B,D,E$ 四点共圆；

(2) 若 $\angle A=90^{\circ }$，且 $m=4$，$n=6$，求 $C,B,D,E$ 所在圆的半径.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) $AD\cdot AB=mn=AE\cdot AC$ 由相交弦逆定理得共圆
2. 步骤2：(2) 建系设圆的一般方程
3. 步骤3：由轴上交点读系数

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $5\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $AD$，$AB$ 是方程 $x^2-14x+mn=0$ 的两个根，得 $AD\cdot AB=mn=AE\cdot AC$。

由于 $D$ 在 $AB$ 上，$E$ 在 $AC$ 上，根据相交弦定理的逆定理，四点 $C,B,D,E$ 共圆。

（2）当 $\angle A=90^{\circ }$，$m=4$，$n=6$ 时，$AD$，$AB$ 是方程 $x^2-14x+24=0$ 的两个根，即 $AD$，$AB$ 为 $2,12$。由 $D$ 在边 $AB$ 上，得 $AD=2$，$AB=12$。

取 $A$ 为原点，$AB$ 在 $x$ 轴正向、$AC$ 在 $y$ 轴正向，则 $B=(12,0)$，$C=(0,6)$，$D=(2,0)$，$E=(0,4)$。设所求圆方程为 $x^2+y^2+ux+vy+w=0$。代入 $B,D$，得 $x$ 轴上的两个根为 $2,12$，故 $u=-14$，$w=24$；代入 $C,E$，得 $y$ 轴上的两个根为 $4,6$，故 $v=-10$。

所以圆心为 $(7,5)$，半径满足 $R^2=7^2+5^2-24=50$，从而 $R=5\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相交弦定理及其逆定理（圆幂）；直角坐标系下由轴上交点读圆方程系数

核心方法：韦达定理给 $AD\cdot AB$ → 圆幂等式逆用得共圆；(2) 圆截两轴的交点即一元二次方程的根，直接读出 $u,v,w$

避坑指南：$AD$，$AB$ 是方程的两根但未指明大小，须按 $D$ 在边 $AB$ 上确定 $AD=2<AB=12$；半径由 $R^2=\frac{u^2+v^2}{4}-w$ 计算，漏掉 $-w$ 会错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四点共圆与圆幂定理题，与 2013 年湖南卷理第 11 题、2014 年大纲卷文第 22 题同族。

结论推广：圆过 $x$ 轴上两点 $p,q$ 与 $y$ 轴上两点 $r,s$ 时，$x^2+ux+w=(x-p)(x-q)$、$y^2+vy+w=(y-r)(y-s)$ 共享常数项 $w=pq=rs$；共圆的本质是同一常数项。

方法推广：几何证明选讲题：共圆优先找等幂（乘积相等）；求圆半径把圆放到坐标系里用一般方程读系数最快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-11 填-相交弦定理
• 2014-大纲卷文-22 解-抛物线与四点共圆
• 2015-天津卷文-06 单-相交弦定理