2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及解集与参数的对应。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=|x-a|+3x$，其中 $a>0$.

(1) 当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)⩾3x+2$ 的解集；

(2) 若不等式 $f(x)⩽0$ 的解集为 $\{x\mid x⩽-1\}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $|x-1|⩾2$ 直接解
2. 步骤2：(2) 分段讨论 $x⩾a$ 与 $x<a$
3. 步骤3：解集 $(-\infty ,-\frac{a}{2}]$ 与 $\{x\mid x⩽-1\}$ 对比定 $a$

✅【答案】

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(1) $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$

(2) $a=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $a=1$ 时，不等式化为 $|x-1|⩾2$，所以 $x-1⩾2$ 或 $x-1⩽-2$，解集为 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

（2）当 $x⩾a$ 时，$f(x)=4x-a$。条件 $f(x)⩽0$ 要求 $x⩽\frac{a}{4}$，与 $x⩾a>0$ 不相容。当 $x<a$ 时，$f(x)=a+2x$，故 $f(x)⩽0$ 等价于 $x⩽-\frac{a}{2}$。因此不等式的解集为 $\left(-\infty ,-\frac{a}{2}\right]$。由题设它等于 $\{x\mid x⩽-1\}$，得 $-\frac{a}{2}=-1$，所以 $a=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：零点分段去绝对值；解集相等则端点相等

核心方法：(1) 按 $|u|⩾c⟺u⩾c$ 或 $u⩽-c$；(2) 分段化简后证明 $x⩾a$ 段无解，右端点 $-\frac{a}{2}$ 与 $-1$ 对应

避坑指南：(2) 中 $x⩾a$ 段的解 $x⩽\frac{a}{4}$ 与 $x⩾a$ 矛盾（$a>0$），必须写明这段为空；否则解集形式不完整，对应关系无法确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式选做题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 24 题、2013 年新课标Ⅰ文第 24 题同族。

结论推广：$f(x)=|x-a|+3x$（$a>0$）的 $f⩽0$ 解集右端点恒为 $-\frac{a}{2}$；含参数绝对值不等式的”解集已知”问题都归结为端点对应 + 空段说明。

方法推广：绝对值不等式题：零点分段 → 各段化一次不等式并与段前提求交 → 说明空段 → 由解集端点相等定参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2013-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-新课标II卷文-24 解-绝对值不等式