2011-江苏卷-15 解-三角恒等变换与解三角形

本题导读

本题考查两角和的正弦公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边为 $a$，$b$，$c$.

(1) 若 $\sin \left(A+\frac{\pi }{6}\right)=2\cos A$，求 $A$ 的值；

(2) 若 $\cos A=\frac{1}{3}$，$b=3c$，求 $\sin C$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 和角公式展开后化切
2. 步骤2：(2) 余弦定理求 $a$
3. 步骤3：再用勾股定理逆定理得 $B=\frac{\pi }{2}$

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$

(2) $\sin C=\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由两角和的正弦公式，

$\sin A\cos \frac{\pi }{6}+\cos A\sin \frac{\pi }{6}=2\cos A$，即 $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A+\frac{1}{2}\cos A=2\cos A$。

若 $\cos A=0$，则上式推出 $\sin A=0$，与 $A\in (0,\pi )$ 矛盾，故 $\cos A\ne 0$。两边除以 $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A$，得 $\tan A=\sqrt{3}$。

因为 $0<A<\pi$，所以 $A=\frac{\pi }{3}$。

（2）因为 $A\in (0,\pi )$，$\cos A=\frac{1}{3}$，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

由余弦定理，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=9c^2+c^2-2\times 3c\times c\times \frac{1}{3}=8c^2$，故 $a=2\sqrt{2}c$。

于是 $b^2=9c^2=a^2+c^2$，由勾股定理的逆定理，$B=\frac{\pi }{2}$，所以 $\sin C=\cos A=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正弦公式；同角平方关系；余弦定理与勾股定理的逆定理

核心方法：线性齐次式 $\alpha \sin A+\beta \cos A=0$ 化为 $\tan A$；比例边长设参（以 $c$ 为基准）后代余弦定理

避坑指南：第（1）问先排除 $\cos A=0$ 再同除变形；第（2）问开方取正值要说明 $A\in (0,\pi )$，两条路径（正弦定理或勾股逆定理）结果应一致，可互检。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形基础解答题，与 2013 年江苏卷第 18 题、2014 年江苏卷第 15 题、2012 年江苏卷第 15 题同族。

结论推广：一般地，若 $\cos A=k$，$b=\lambda c$，则 $a=c\sqrt{{\lambda }^2+1-2\lambda k}$，且 $\sin C=\frac{\sqrt{1-k^2}}{\sqrt{{\lambda }^2+1-2\lambda k}}$。

方法推广：解三角形首题按”定角 → 算边 → 定形”推进：先用恒等变换定角，再用余弦定理定边，最后识别特殊三角形直接读角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-18 解-正余弦定理
• 2014-江苏卷-15 解-同角三角函数
• 2012-江苏卷-15 解-向量与解三角形