2011-江西卷文-03 单-对数定义域与分母非零

本题导读

本题考查对数函数的定义域，以及分式分母不为零。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 若 $f(x)=\frac{1}{{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)}$，则 $f(x)$ 的定义域为 ()

A. $\left(-\frac{1}{2},0\right)$　　B. $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$　　C. $\left(-\frac{1}{2},0\right)\cup (0,+\infty )$　　D. $\left(-\frac{1}{2},2\right)$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：真数 $2x+1>0$ 且对数值 ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)\ne 0$ 联立

✅【答案】

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C$\left(-\frac{1}{2},0\right)\cup (0,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

对数真数有限制：$2x+1>0$，得 $x>-\frac{1}{2}$。

分母有限制：${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)\ne 0$，即 $2x+1\ne 1$，得 $x\ne 0$。

故定义域为 $\left(-\frac{1}{2},0\right)\cup (0,+\infty )$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数真数大于零；${\log }_{a}1=0$；分式函数分母非零

核心方法：“真数 $>0$ + 对数值 $\ne 0$ + 分母 $\ne 0$“三条限制联立，缺一不可

避坑指南：${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)=0$ 等价于 $2x+1=1$（真数等于 $1$），挖去的是 $x=0$ 这个点而不是区间——漏掉它会错选 B；底数是 $\frac{1}{2}$ 只影响单调性，不影响定义域。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数定义域题与 2012-安徽卷文-02、2013-重庆卷文-03、2012-江苏卷-05 同族。

结论推广：推广：$f(x)=\frac{1}{{\log }_{a}g(x)}$ 的定义域 $=\{g(x)>0\}\cap \{g(x)\ne 1\}$；凡”对数做分母”，定义域一定挖去对数值为零的点，结果常是区间的并。

方法推广：定义域题：把所有限制（真数、底数、分母、根号内）逐条列出再求交，结果用区间准确书写。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-02 单-交集与对数定义域
• 2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域
• 2012-江苏卷-05 填-对数函数定义域