2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化

本题导读

本题考查正弦定理，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$.若 $a\cos A=b\sin B$，则 $\sin A\cos A+{\cos }^{2}B=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：边角互化：$a\cos A=b\sin B\Rightarrow \sin A\cos A={\sin }^{2}B$
2. 步骤2：整体代入

✅【答案】

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D值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即 $a=k\sin A$，$b=k\sin B$（$k>0$）。

代入 $a\cos A=b\sin B$：$k\sin A\cos A=k{\sin }^{2}B$，故 $\sin A\cos A={\sin }^{2}B$。

于是 $\sin A\cos A+{\cos }^{2}B={\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边角互化；平方和的恒等变形

核心方法：见”边 = 边 × 角”先全化成角；目标式不需要单独求角，整体配对即可

避坑指南：条件里 $\cos A$ 对 $\sin B$（不对称），照抄进等式即可，别自作主张换成 $\sin A\cos A=\sin B\cos B$；最终用 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ 配对，无须知道任何角的具体值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形边角互化题与 2012-新课标卷文-17、2012-广东卷文-06、2011-大纲卷文-18 同族。

结论推广：推广：条件 $a\cos A=b\sin B$ 等价于 $\sin 2A=2{\sin }^{2}B=1-\cos 2B$，还可进一步讨论角，但本题只求代数式的值，无须解角。

方法推广：解三角形小题：目标式含 ${\sin }^2+{\cos }^2$ 结构时，优先把条件化成”一部分 = 平方项”，整体代入。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2012-广东卷文-06 单-正弦定理解三角形
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形