2011-湖北卷文-12 填-二项式特定项

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项系数。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） ${\left(x-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)}^{18}$ 的展开式中含 $x^{15}$ 的项的系数为$\underline{}$.（结果用数值表示）

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{18}^k{x}^{18-k}{\left(-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)}^k$
2. 步骤2：令 $x$ 指数 $=15$

✅【答案】

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$17$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_{18}^k{x}^{18-k}{\left(-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{1}{2}}\right)}^k={\mathrm{C}}_{18}^k{\left(-\frac{1}{3}\right)}^k{x}^{18-\frac{3k}{2}}$。

令 $18-\frac{3k}{2}=15$，解得 $k=2$。

系数 $={\mathrm{C}}_{18}^2{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=153\times \frac{1}{9}=17$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式通项；幂指数方程；系数与二项式系数的区分

核心方法：写出含符号的通项，令 $x$ 的指数等于目标次数，解出 $k$ 后代回取系数

避坑指南：${\left(-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)}^k$ 的符号与数值要一起处理——本题 $k=2$ 为偶，负号消失；若 $k$ 为奇则系数为负；“系数”含 ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^k$ 因子，别只写二项式系数 ${\mathrm{C}}_{18}^2=153$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项题与 2012-四川卷文-02、2012-大纲卷文-13、2013-安徽卷理-11 同族。

结论推广：推广：${\left(x^a+c{x}^b\right)}^n$ 中含 $x^m$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_n^k{c}^k$，其中 $k=\frac{m-na}{a-b}$ 必须是非负整数——$k$ 非整则该项不存在。

方法推广：二项式填空：通项 + 指数方程 + 系数代回，三步套路化；注意负底的奇偶性对符号的影响。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项