2011-湖北卷文-21 解-轨迹方程与焦点三角形

本题导读

本题考查轨迹方程，以及曲线形状的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 平面内与两定点 $A_1(-a,0)$，$A_2(a,0)$（$a>0$）连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_1$，$A_2$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

(1)求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；

(2)当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$；对给定的 $m\in (-1,0)\cup (0,+\infty )$，对应的曲线为 $C_2$. 设 $F_1$，$F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$，使得 $△F_{1}N{F}_2$ 的面积 $S=|m|a^2$？若存在，求 $\tan \angle F_{1}N{F}_2$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：斜率之积列式 $m{x}^2-y^2=m{a}^2$ 按 $m$ 分类
2. 步骤2：存在性由 $S⩽ac$ 定 $m$ 范围
3. 步骤3：$\tan$ 用焦点三角形余弦与面积两式相除

✅【答案】

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(1)$C$：$m{x}^2-y^2=m{a}^2$（去掉 $A_1$，$A_2$ 外的点再加回）；$m<-1$ 时为焦点在 $y$ 轴上的椭圆，$m=-1$ 时为圆，$-1<m<0$ 时为焦点在 $x$ 轴上的椭圆，$m>0$ 时为焦点在 $x$ 轴上的双曲线

(2)存在，$m\in \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$；$m\in \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)$ 时 $\tan \angle F_{1}N{F}_2=2$，$m\in \left(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ 时 $\tan \angle F_{1}N{F}_2=-2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设点 $P(x,y)$（$x\ne \pm a$），由 $k_{P{A}_1}\cdot k_{P{A}_2}=m$：

$\frac{y}{x+a}\cdot \frac{y}{x-a}=m$，即 $y^2=m(x^2-a^2)$，即 $m{x}^2-y^2=m{a}^2$（$x\ne \pm a$），加上 $A_1$，$A_2$ 两点即为曲线 $C$。

分类：$m=-1$ 时 $x^2+y^2=a^2$，圆；$-1<m<0$ 时 $x^2/a^2+y^2/(-m{a}^2)=1$ 且 $-m<1$，焦点在 $x$ 轴上的椭圆；$m<-1$ 时同形但 $-m>1$，焦点在 $y$ 轴上的椭圆；$m>0$ 时 $x^2/a^2-y^2/(m{a}^2)=1$，焦点在 $x$ 轴上的双曲线。

（2）$C_1$：$x^2+y^2=a^2$（圆）。$C_2$ 的半焦距：$m>0$（双曲线）时 $c^2=a^2+m{a}^2=a^2(1+m)$；$-1<m<0$（椭圆）时 $c^2=a^2+m{a}^2=a^2(1+m)$——两式统一为 $c^2=a^2(1+m)$。

设 $N$ 在圆上，$d_1=|N{F}_1|$，$d_2=|N{F}_2|$，$O$ 为原点。由中线公式：$d_1^2+d_2^2=2(N{O}^2+F_1{O}^2)=2(a^2+c^2)$。

$\cos \angle F_{1}N{F}_2=\frac{d_1^2+d_2^2-(2c{)}^2}{2d_1{d}_2}=\frac{2(a^2+c^2)-4c^2}{2d_1{d}_2}=\frac{a^2-c^2}{d_1{d}_2}=-\frac{m{a}^2}{d_1{d}_2}$。

面积 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \angle F_{1}N{F}_2=|m|a^2$，故 $\sin \angle F_{1}N{F}_2=\frac{2|m|a^2}{d_1{d}_2}$，从而

$\tan \angle F_{1}N{F}_2=\frac{\sin }{\cos }=\frac{2|m|a^2}{-m{a}^2}=-2\cdot \frac{|m|}{m}$，即 $m<0$ 时为 $2$，$m>0$ 时为 $-2$。

存在性：$d_1{d}_2⩽\frac{d_1^2+d_2^2}{2}=a^2+c^2$，故

$S^2=\frac{1}{4}\left[d_1^2{d}_2^2-(a^2-c^2{)}^2\right]⩽\frac{1}{4}\left[(a^2+c^2{)}^2-(a^2-c^2{)}^2\right]=a^2{c}^2$，

即 $S⩽ac$（当且仅当 $NO\perp F_1{F}_2$ 时 $S=ac$）。要求 $|m|a^2⩽ac$，即 $m^2{a}^2⩽c^2=a^2(1+m)$，即 $m^2-m-1⩽0$，解得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}⩽m⩽\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

结合 $m\in (-1,0)\cup (0,+\infty )$：当 $m\in \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ 时存在这样的点 $N$（在圆与直线 $x=0$ 的交点处取得最大面积，$|m|a^2⩽ac$ 时恰好或有余量，连续性保证面积可取到目标值），其余情形不存在。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：斜率之积定轨迹；二次曲线按参数分类；焦点三角形的面积上界与角

核心方法：轨迹方程”斜率之积”直接翻译；存在性用 $S⩽ac$（中线公式 + 均值不等式）；$\tan$ 值由 $\cos$（余弦定理 + 中线）与 $S$ 两式相除

避坑指南：斜率之积列式必须去掉 $x=\pm a$（斜率不存在），题设”加上 $A_1$，$A_2$ 两点”正是补回；$c^2=a^2(1+m)$ 对椭圆（$-1<m<0$）与双曲线（$m>0$）统一成立是本题的巧妙之处；$\tan$ 的符号由 $-\frac{m}{|m|}$ 决定——椭圆情形角为锐角（$\tan >0$），双曲线情形角为钝角（$\tan <0$）；$S⩽ac$ 的取等条件是 $N$ 在短轴端点（$NO\perp F_1{F}_2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹与焦点三角形题与 2011-山东卷文-22、2012-上海卷文-22、2013-上海卷文-23 同族。

结论推广：推广：过两定点斜率之积为 $m$ 的轨迹族 $m{x}^2-y^2=m{a}^2$ 覆盖圆（$m=-1$）、椭圆（$-1<m<0$）、双曲线（$m>0$）三大类，是”曲线统一性”的标准示例；焦点三角形面积上界 $S_{\max }=bc$（中心型曲线），取等在短轴/虚轴端点。

方法推广：曲线族讨论题：先列方程，再按参数符号与大小分四档；存在性问题转化为最值不等式 $S⩽ac$，角的正切由 $\sin$ 与 $\cos$ 的现成表达式相除，避免单独解角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-22 解-椭圆定点与对称
• 2012-上海卷文-22 解-双曲线综合与垂直证明
• 2013-上海卷文-23 解-双曲线新定义