2011-湖南卷文-19 解-圆锥线面角

本题导读

本题考查圆锥的结构，以及线面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 如图，在圆锥 $PO$ 中，已知 $PO=\sqrt{2}$，$\odot O$ 的直径 $AB=2$，点 $C$ 在弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 上，且 $\angle CAB=30^{\circ }$，$D$ 为 $AC$ 的中点.

(1) 证明：$AC\perp$ 平面 $POD$；

(2) 求直线 $OC$ 和平面 $PAC$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) $PO\perp$ 底面且 $OD\perp AC$（等腰三角形三线合一）
2. 步骤2：(2) 证 $△PAC$ 等边后用 $V_{O-PAC}=V_{P-OAC}$ 求 $OC$ 与平面所成角

✅【答案】

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(1) 证明：$AC\perp$ 平面 $POD$（见解析）

(2) 直线 $OC$ 和平面 $PAC$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $PO$ 为圆锥的高，$PO\perp$ 底面圆 $O$，而 $AC$ 在底面内，故 $PO\perp AC$。

$AB$ 为直径，$C$ 在圆上，故 $\angle ACB=90^{\circ }$；$△OAC$ 中 $OA=OC$（均为半径），$D$ 为 $AC$ 中点，由等腰三角形”三线合一”，$OD\perp AC$。

$PO\cap OD=O$，$PO$，$OD\subset$ 平面 $POD$，故 $AC\perp$ 平面 $POD$。

(2) $AB=2$，故半径 $OA=OC=1$。圆周角 $\angle CAB=30^{\circ }$，同弧所对圆心角 $\angle BOC=2\times 30^{\circ }=60^{\circ }$，故 $\angle AOC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$，$AC=2\times 1\times \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$。

母线 $PA=\sqrt{P{O}^2+O{A}^2}=\sqrt{3}$，同理 $PC=\sqrt{3}$，故 $△PAC$ 为边长 $\sqrt{3}$ 的等边三角形，$S_{△PAC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{3}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

$S_{△OAC}=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{4}$，由 $V_{O-PAC}=V_{P-OAC}$：

$\frac{1}{3}{S}_{△PAC}\cdot d=\frac{1}{3}{S}_{△OAC}\cdot PO$（$d$ 为 $O$ 到平面 $PAC$ 的距离），

$d=\frac{S_{△OAC}\cdot PO}{S_{△PAC}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}\times \sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。

设直线 $OC$ 与平面 $PAC$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{d}{OC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定定理；圆周角与圆心角；等体积法求点面距离；线面角的定义

核心方法：垂直证明用”$PO\perp AC$ + $OD\perp AC$“两线定面；求角先算点面距 $d$，再 $\sin \theta =\frac{d}{OC}$

避坑指南：(1) 中 $OD\perp AC$ 的依据是 $OA=OC$（等腰）加 $D$ 为中点（三线合一），不是中位线；(2) 中 $\angle AOC=120^{\circ }$ 别错算成 $60^{\circ }$——圆周角 $\angle CAB$ 与圆心角 $\angle BOC$ 同弧，$\angle AOC$ 是其补角；线面角的正弦是 $\frac{d}{|OC|}$，用余弦或把 $OC$ 当斜线长都会错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥与线面角题与 2012-湖南卷文-19、2014-湖北卷文-10、2011-上海卷文-07 同族。

结论推广：推广：圆锥中”底面弦 + 高”的垂直链是高频结构——直径所对圆周角为直角、等腰三角形三线合一、高垂直底面，三件套组合即可完成线面垂直证明；点面距优先考虑等体积法。

方法推广：立体几何大题：(1) 垂直证明凑”两线相交且都垂直于该线”；(2) 求线面角先求点面距（等体积法最稳），再用 $\sin \theta =\frac{d}{\text{斜线段长}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角
• 2014-湖北卷文-10 单-圆锥体积
• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积