2011-福建卷文-15 填-正方体线面平行

本题导读

本题考查线面平行的性质，以及正方体。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=2$，点 $E$ 为 $AD$ 的中点，点 $F$ 在 $CD$ 上，若 $EF\parallel$ 平面 $A{B}_{1}C$，则线段 $EF$ 的长度等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：建系：由 $\overrightarrow{EF}$ 与平面 $A{B}_{1}C$ 的法向量垂直定出 $F$
2. 步骤2：再求 $|EF|$

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$，$AD$，$A{A}_1$ 为 $x$，$y$，$z$ 轴建系，棱长 $2$。

则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$D(0,2,0)$，$B_1(2,0,2)$，$E(0,1,0)$，设 $F(t,2,0)$（$0⩽t⩽2$）。

$\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{A{B}_1}=(2,0,2)$，平面 $A{B}_{1}C$ 的法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{A{B}_1}=(4,-4,-4)$，取 $\mathbf{n}=(1,-1,-1)$。

$EF\parallel$ 平面 $A{B}_{1}C$ 且 $E\notin$ 平面，故 $\overrightarrow{EF}\perp \mathbf{n}$：$\overrightarrow{EF}=(t,1,0)$，$t-1=0$，$t=1$，即 $F$ 为 $CD$ 的中点。

$|EF|=\sqrt{1^2+1^2+0}=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的向量条件；正方体中的坐标法

核心方法：建系后用”线面平行 $\Rightarrow$ 方向向量与法向量垂直”定出动点位置

避坑指南：法向量取 $(1,-1,-1)$ 前先用叉积或解方程组验证；$\overrightarrow{EF}$ 的纵分量是 $2-1=1$（$F$ 纵标 $2$、$E$ 纵标 $1$），别漏负号方向——垂直只要求点积为零，方向不影响；解出 $t=1$ 落在 $CD$ 上，满足题设。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方体线面平行题与 2013-江西卷文-15、2013-安徽卷文-15、2012-陕西卷文-08 同族。

结论推广：推广：正方体棱长 $a$ 时，本题结构下 $|EF|=\frac{\sqrt{2}}{2}a$；$F$ 恒为 $CD$ 中点，与 $E$ 为 $AD$ 中点对称。

方法推广：动点 + 线面平行：建系把几何条件化为向量垂直（点积为零），解出参数后直接算模长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-15 填-正方体线面相交
• 2013-安徽卷文-15 填-正方体截面
• 2012-陕西卷文-08 单-截割正方体左视图