2011-福建卷文-18 解-抛物线切线与圆

本题导读

本题考查直线与抛物线相切，以及抛物线的准线。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 如图，直线 $l:y=x+b$ 与抛物线 $C:x^2=4y$ 相切于点 $A$.

(1)求实数 $b$ 的值；

(2)求以点 $A$ 为圆心，且与抛物线 $C$ 的准线相切的圆的方程.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：联立消元令 $\Delta =0$ 求 $b$ 与切点 $A$
2. 步骤2：圆半径即 $A$ 到准线的距离

✅【答案】

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(1)$b=-1$

(2)$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $y=x+b$ 与 $x^2=4y$ 联立：$x^2=4(x+b)$，即 $x^2-4x-4b=0$。

相切等价于 $\Delta =16+16b=0$，解得 $b=-1$。

此时方程为 $x^2-4x+4=0$，$x=2$，$y=x-1=1$，故切点 $A(2,1)$。

（2）抛物线 $x^2=4y$ 的准线为 $y=-1$。

圆与准线相切，半径 $r$ 等于 $A(2,1)$ 到直线 $y=-1$ 的距离：$r=|1-(-1)|=2$。

故所求圆的方程为 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与抛物线相切的判别式条件；焦半径与准线；圆的标准方程

核心方法：“相切”$\to$ 消元后 $\Delta =0$，同时解出切点；圆心到直线的距离即半径

避坑指南：联立消元必须消成关于 $x$ 的一元二次方程再令 $\Delta =0$（消 $y$ 时 $x^2=4y$ 中 $y⩾0$ 有范围限制，不如消 $x$ 干净）；半径是”圆心到准线的距离”不是到焦点的距离，本题 $A(2,1)$ 恰与焦点 $(0,1)$ 同高，$|AF|=2$ 与 $r=2$ 相等并非巧合——切点在抛物线上时到焦点与到准线等距。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线切线与圆题与 2011-浙江卷文-22、2012-四川卷文-22、2012-大纲卷文-22 同族。

结论推广：推广：直线 $y=kx+b$ 与 $x^2=4y$ 相切 $⟺b=-k^2$，切点横坐标 $x=2k$；本题 $k=1$，$b=-1$，$A(2,1)$ 正合此式。

方法推广：抛物线切线问题：消元 + $\Delta =0$ 一步到位，切点坐标顺势求出；涉及准线（或焦点）的距离即焦半径，优先用定义转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-22 解-抛物线切线与圆
• 2012-四川卷文-22 解-抛物线切线与不等式
• 2012-大纲卷文-22 解-抛物线与圆公切线