2011-福建卷文-22 解-导数单调性与值域

本题导读

本题考查导数与单调性，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 已知 $a$，$b$ 为常数，且 $a\ne 0$，函数 $f(x)=-ax+b+ax\ln x$，$f(e)=2$（$e=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数）.

(1)求实数 $b$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(3)当 $a=1$ 时，是否同时存在实数 $m$ 和 $M$（$m<M$），使得对每一个 $t\in [m,M]$，直线 $y=t$ 与曲线 $y=f(x)$（$x\in \left[\frac{1}{e},e\right]$）都有公共点？若存在，求出最小的实数 $m$ 和最大的实数 $M$；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f(e)=2$ 消去 $a$ 得 $b$
2. 步骤2：$f^{\prime }(x)=a\ln x$ 按符号分两类
3. 步骤3：$a=1$ 时求 $[1/e,e]$ 上的值域定 $m$
4. 步骤4：$M$

✅【答案】

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(1)$b=2$

(2)$a>0$ 时，减区间为 $(0,1)$，增区间为 $(1,+\infty )$；$a<0$ 时，增区间为 $(0,1)$，减区间为 $(1,+\infty )$

(3)存在，$m=1$，$M=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(e)=-ae+b+ae\ln e=-ae+b+ae=b$，故 $b=2$（与 $a$ 无关）。

（2）$f^{\prime }(x)=-a+a(\ln x+1)=a\ln x$。

当 $a>0$ 时：$x\in (0,1)$ 时 $\ln x<0$，$f^{\prime }(x)<0$，$f$ 单调递减；$x\in (1,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 单调递增。

当 $a<0$ 时，符号相反：$(0,1)$ 为增区间，$(1,+\infty )$ 为减区间。

（3）$a=1$ 时，$f(x)=-x+2+x\ln x$，$x\in \left[\frac{1}{e},e\right]$，且由（2）知 $f$ 在 $\left[\frac{1}{e},1\right]$ 递减、在 $\left[1,e\right]$ 递增。

最小值 $f(1)=-1+2+0=1$。

最大值在端点：$f(e)=-e+2+e=2$；$f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}+2+\frac{1}{e}\ln \frac{1}{e}=2-\frac{2}{e}$。

因 $2>2-\frac{2}{e}>1$，故最大值为 $f(e)=2$，值域为 $[1,2]$。

对每一个 $t\in [m,M]$，$y=t$ 与曲线有公共点 $⟺t$ 属于 $f$ 在 $\left[\frac{1}{e},e\right]$ 上的值域 $[1,2]$（连续函数的介值性保证取到每个中间值）。

故 $[m,M]\subseteq [1,2]$，最小的 $m=1$，最大的 $M=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参函数求值消参；导数符号与单调区间分类讨论；闭区间连续函数的值域

核心方法：$f(e)$ 恰好消去 $a$ 是入口；单调性按 $a$ 的符号两分；第（3）问把”直线系与曲线有公共点”翻译成”$t$ 属于值域”

避坑指南：求导时 $(x\ln x{)}^{\prime }=\ln x+1$，与 $-a$ 合并后 $f^{\prime }(x)=a\ln x$——结果干净但过程不能跳步；$a\ne 0$ 决定分类只有 $a>0$、$a<0$ 两类；第（3）问的最小 $m$ 是值域下端 $1$（不是 $2-\frac{2}{e}$，那个只是左端点的函数值）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数单调性与值域题与 2011-浙江卷文-21、2012-新课标卷文-21、2012-天津卷文-20 同族。

结论推广：推广：$f(x)=-x+b+x\ln x$ 的图象在 $x>0$ 上以 $x=1$ 为唯一极值点、以 $b$ 为”基准值”；$[1,e]$ 上值域 $[1,2]$ 与 $b=2$ 的搭配是本题”存在 $m$，$M$“的代数实质——连续函数值域内每个水平线都与图象相交。

方法推广：导数压轴题：先用特殊点函数值消参；单调性讨论抓 $f^{\prime }$ 的零点与参数符号；“存在 $m$，$M$ 使每条 $y=t$ 相交”即求值域区间，问题立刻降维。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2012-新课标卷文-21 解-导数恒成立与隐零点
• 2012-天津卷文-20 解-三次函数零点与区间最值