2011-重庆卷文-17 解-独立重复与非空分配

本题导读

本题考查独立重复试验，以及互斥事件与对立事件。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 某市公租房的房源位于 $A$，$B$，$C$ 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 4 位申请人中：

(1)没有人申请 $A$ 片区房源的概率；

(2)每个片区的房源都有人申请的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：（1）没人申请 A 即 4 人全落在 B、C：$(2/3{)}^4$
2. 步骤2：（2）容斥：$1-3\cdot (2/3{)}^4+3\cdot (1/3{)}^4$

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{16}{81}$

(2) $\frac{4}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）每位申请人不申请 $A$ 片区的概率为 $\frac{2}{3}$，4 位申请人相互独立， 故没有人申请 $A$ 片区房源的概率为 $P_1={\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}$。 （2）4 位申请人每人有 3 种选择，样本点总数为 $3^4=81$。 「每个片区都有人申请」即 3 个片区均非空： 由容斥原理，非空分配数为 $3^4-C_3^1\cdot 2^4+C_3^2\cdot 1^4=81-48+3=36$， 故所求概率 $P_2=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验的概率乘法；容斥原理计数 $n$ 个集合非空分配（surjection 计数）。

核心方法：（1）独立连乘；（2）容斥计数「全数 − 空某一片区 + 空某两片区」，或按人数分布 $2+1+1$ 分类：$C_4^2\cdot 3!=36$ 种，与容斥结果互相印证。

避坑指南：（2）的容斥中「减去空一个片区」要对 3 个片区分别减（乘 $C_3^1$），「加回空两个片区」乘 $C_3^2$，漏乘组合数会得 $\frac{36}{81}$ 变 $\frac{12}{81}$ 之类的错误；直接按 $2+1+1$ 分类计数更稳妥，注意还要在选定片区后分配人员。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「独立重复 + 非空分配」是概率解答题的经典组合，2011 山东文 18、2012 大纲卷文 20 同以容斥或分类计数为核心。

结论推广：n 个人分到 m 个区域且每处非空的分法数为 ${\sum }_{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k(m-k{)}^n$（容斥公式），本题 $n=m=3$ 时可手算。

方法推广：「都有人申请」类问题两条路线：容斥公式直接算，或按人数分布（只能是 $2+1+1$）分类数 $C_4^2\cdot 3!$，考场取自己最熟的一条并验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-18 解-古典概型
• 2012-大纲卷文-20 解-轮换发球概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率