2012-上海卷文-11 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及排列组合计数。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是$\underline{}$（结果用最简分数表示）.

🔍【思路分析】

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总数为 $3^3=27$，恰两人同项目的 $18$ 种，$P=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

每人有 $3$ 种选法，总数为 $3^3=27$。

“有且仅有两人选同一项目”：先选这两人 ${\mathrm{C}}_3^2=3$，再选他们共同的项目 $3$ 种，第三人选与之不同的项目 $2$ 种，共 $3\times 3\times 2=18$ 种。

故 $P=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的概率公式；分步乘法计数

核心方法：先算全体选法，再按”选人、定项目、第三人避同”分步计数

避坑指南：“有且仅有两人相同”要排除三人全同（$3$ 种）与三人全不同（$3\times 2\times 1=6$ 种）的情形；用 ${\mathrm{C}}_3^2$ 选人时别再乘顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型计数题，与 2014 年上海卷文第 13 题、2013 年上海卷文第 11 题同族。

结论推广：三人三项目：全同 $3$ 种、恰两人同 $18$ 种、全不同 $6$ 种，合计 $27$ 种构成完备事件组。

方法推广：古典概型先定样本空间大小，再用分步乘法数有利事件，最后核对各种情形是否互斥且完备。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-13 填-古典概型
• 2013-上海卷文-11 填-古典概型积偶
• 2014-天津卷文-15 解-古典概型