2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面

本题导读

本题考查球的截面与球面距离，以及空间角与距离的综合。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$，过圆 $O$ 的直径 $CD$ 作与平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ }$ 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$ 的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle BOP=60^{\circ }$，则 $A$，$P$ 两点间的球面距离为()

!

A. $R\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　B. $\frac{\pi R}{4}$　　　　　　C. $R\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{\pi R}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

截面大圆与底面成 $45^{\circ }$，$OB$ 与 $OA$ 夹角 $45^{\circ }$；$P$ 在同一截圆上且 $\angle BOP=60^{\circ }$，$OP$ 在竖直方向分量为 $R\cos 45^{\circ }\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}R$，故球面距离 $=R\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设过 $CD$ 且与 $\alpha$ 成 $45^{\circ }$ 角的平面为 $\beta$，则 $\beta$ 过球心 $O$，与半球面的交线是半径为 $R$ 的半圆（大圆的一部分），$\beta \cap \alpha =$ 直线 $CD$。

交线上到 $\alpha$ 距离最大的点为 $B$，则 $OB\perp CD$（在 $\beta$ 内垂直于交线），故 $OB$ 与 $\alpha$ 所成角为 $45^{\circ }$，$OB$ 与 $OA$（垂直于 $\alpha$）的夹角为 $90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$。

在 $\beta$ 内，把 $OB$ 的方向分解为”竖直分量（沿 $OA$）$+$ 水平分量（垂直于 $CD$）“：竖直分量大小为 $R\cos 45^{\circ }$。

$P$ 在同一截圆上且 $\angle BOP=60^{\circ }$，即 $OP$ 与 $OB$ 在 $\beta$ 内夹 $60^{\circ }$，故 $OP$ 的竖直分量为

$R\cos 45^{\circ }\cos 60^{\circ }=R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}R$。

$\overrightarrow{OA}$ 恰沿竖直方向，所以 $\cos \angle AOP=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}}{R^2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}{R}^2}{R^2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

球面距离 $=$ 半径 $\times$ 圆心角 $=R\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的截面（过球心为大圆）；直线与平面所成角；球面距离 $=R\times$ 圆心角

核心方法：“到平面距离最大的点”垂直于交线 → 定出 $OB$ 与 $\alpha$ 成 $45^{\circ }$；再沿竖直方向投影求 $\cos \angle AOP$

避坑指南：$\angle BOP=60^{\circ }$ 是 $OP$ 与 $OB$ 在截圆平面内的转角，不是 $OP$ 与 $OA$ 的夹角；把 $60^{\circ }$ 直接当 $\angle AOP$ 会错选（D）$\frac{\pi R}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球面距离与截面综合题，与 2013 年新课标Ⅱ理第 7 题、2014 年新课标Ⅱ理第 7 题的”球截面”背景同族。

结论推广：球面两点距离 $L=R\theta$（$\theta$ 为过两点的球半径夹角，弧度制）；求 $\theta$ 的通用办法是算 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{O{P}_1}\cdot \overrightarrow{O{P}_2}}{R^2}$。

方法推广：立体几何综合题先”降维”：把空间角拆成截面内的平面角，再沿竖直方向投影。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-19 解-三棱锥体积与异面直线角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角