2012-大纲卷文-19 解-线面垂直与线面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定。核心在于建系法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$AC=2\sqrt{2}$，$PA=2$，$E$ 是 $PC$ 上的一点，$PE=2EC$.

(1)证明：$PC\perp$ 平面 $BED$;

(2)设二面角 $A-PB-C$ 为 $90^{\circ }$，求 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小.（本小题满分 $12$ 分）

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🔍【思路分析】

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$\overrightarrow{PC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{BE}$ 数量积均为 $0$ 得（1）；（2）由二面角 $90^{\circ }$ 解出底面为正方形，线面角正弦 $=\frac{1}{2}$，即 $30^{\circ }$。

✅【答案】

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(1)证明见解析

(2)$30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AC\cap BD=O$。由菱形性质 $AC\perp BD$ 且 $O$ 平分两对角线，$OA=OC=\sqrt{2}$。

以 $O$ 为原点、$OA$、$OB$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴，过 $O$ 垂直于底面的直线为 $z$ 轴建系：$A(-\sqrt{2},0,0)$，$C(\sqrt{2},0,0)$，$B(0,b,0)$，$D(0,-b,0)$（$b>0$），$P(-\sqrt{2},0,2)$。

$PE=2EC$，故 $E=\frac{1}{3}P+\frac{2}{3}C=\left(\frac{\sqrt{2}}{3},0,\frac{2}{3}\right)$。

（1）$\overrightarrow{PC}=(2\sqrt{2},0,-2)$；$\overrightarrow{BD}=(0,-2b,0)$，$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$；$\overrightarrow{BE}=\left(\frac{\sqrt{2}}{3},-b,\frac{2}{3}\right)$，$\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{BE}=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{3}+0+(-2)\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0$。

故 $PC\perp BD$，$PC\perp BE$，又 $BD\cap BE=B$，$BD,BE\subset$ 平面 $BED$，所以 $PC\perp$ 平面 $BED$。

（2）$\overrightarrow{PA}=(0,0,-2)$，$\overrightarrow{PB}=(\sqrt{2},b,-2)$。

平面 $PAB$ 的法向量 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}=(2b,-2\sqrt{2},0)$；平面 $PBC$ 的法向量 $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{PB}\times \overrightarrow{PC}=(-2b,-2\sqrt{2},-2\sqrt{2}b)$。

二面角 $A-PB-C$ 为 $90^{\circ }$，即两半平面互相垂直，$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$：$-4b^2+8=0$，$b^2=2$。

此时 $BD=2\sqrt{2}=AC$，底面为正方形，$D(0,-\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{PD}=(\sqrt{2},-\sqrt{2},-2)$，平面 $PBC$ 的法向量可取 $\vec{n}=(\sqrt{2},\sqrt{2},2)$。

$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PD}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PD}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|2-2-4|}{\sqrt{8}\times \sqrt{8}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。

故 $PD$ 与平面 $PBC$ 所成角为 $30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与证明；二面角；线面角

核心方法：菱形对角线性质建系 → 定比分点求 $E$ → 数量积证垂直 → 法向量求角

避坑指南：定比分点 $PE=2EC$ 意味着 $E$ 靠近 $C$，坐标为 $\frac{1}{3}P+\frac{2}{3}C$，别写反；（2）中”二面角为 $90^{\circ }$“的代数条件是两半平面法向量垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥中垂直与空间角综合题，与 2013 年大纲卷理第 19 题、2014 年大纲卷文第 19 题（三垂线与二面角）同族。

结论推广：一般地，“菱形底面 + 侧棱垂直底面”模型中以对角线交点为原点建系可使坐标简洁；$PE=k\cdot EC$ 时 $E=\frac{P+kC}{k+1}$。

方法推广：立体几何大题双问结构：（1）用数量积证垂直（不依赖未知量），（2）先由附加条件解出待定参数再求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-19 解-线面垂直

• 2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角