2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换，以及正弦函数的零点条件。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 将函数 $f(x)=\sin \omega x$（其中 $\omega >0$）的图象向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度，所得图象经过点 $\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$，则 $\omega$ 的最小值是()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{5}{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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平移后 $g(x)=\sin \omega \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，代入 $\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ 得 $\omega =2k$，最小值为 $2$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

向右平移 $\frac{\pi }{4}$ 后得 $g(x)=\sin \left[\omega \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\right]$。

代入点 $\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$：$\sin \left[\omega \left(\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}\right)\right]=\sin \frac{\pi \omega }{2}=0$。

故 $\frac{\pi \omega }{2}=k\pi$，即 $\omega =2k$（$k\in \mathbf{Z}$）。由 $\omega >0$ 得最小值 $\omega =2$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象平移与解析式的对应关系；正弦函数的零点条件

核心方法：先写平移后解析式（$\omega$ 保留在括号内整体），再由零点列通解

避坑指南：平移是对 $x$ 整体：写成 $\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{4}\right)$ 是错的，应为 $\sin \omega \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$；正弦为零的条件是 $k\pi$，别只取 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平移加过点定参入口题，与 2014 年天津卷文第 8 题、2015 年天津卷文第 14 题同族。

结论推广：$y=A\sin \omega (x-\phi )$ 过 $(x_0,0)$ 等价于 $\omega (x_0-\phi )=k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）；结合 $\omega >0$ 与周期范围取最小。

方法推广：平移记左加右减作用在 $x$ 上；代点后写通解，再用正整数限制收敛到最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.08 恒成立问题——隐零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-08 单-三角周期
• 2015-天津卷文-14 填-三角求ω
• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移