2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型

本题导读

本题考查分层抽样。核心在于列举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 某地区有小学 $21$ 所，中学 $14$ 所，大学 $7$ 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 $6$ 所学校对学生进行视力调查.

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的 $6$ 所学校中随机抽取 $2$ 所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的 $2$ 所学校均为小学的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

抽样比为 $\frac{6}{42}=\frac{1}{7}$，各层抽取 $3$、$2$、$1$ 所；从 $6$ 所中抽 $2$ 所共 $15$ 种，均为小学的 $3$ 种，$P=\frac{1}{5}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)小学 $3$ 所、中学 $2$ 所、大学 $1$ 所；(2)② $P=\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）抽样比为 $\frac{6}{21+14+7}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}$，故从小学抽取 $21\times \frac{1}{7}=3$ 所，中学 $14\times \frac{1}{7}=2$ 所，大学 $7\times \frac{1}{7}=1$ 所。

（2）记 $3$ 所小学为 $a_1,a_2,a_3$，$2$ 所中学为 $a_4,a_5$，大学为 $a_6$。

①从 $6$ 所中抽 $2$ 所的所有结果为：$\{a_1,a_2\}$，$\{a_1,a_3\}$，$\{a_1,a_4\}$，$\{a_1,a_5\}$，$\{a_1,a_6\}$，$\{a_2,a_3\}$，$\{a_2,a_4\}$，$\{a_2,a_5\}$，$\{a_2,a_6\}$，$\{a_3,a_4\}$，$\{a_3,a_5\}$，$\{a_3,a_6\}$，$\{a_4,a_5\}$，$\{a_4,a_6\}$，$\{a_5,a_6\}$，共 $15$ 种。

②记抽取的 $2$ 所学校均为小学为事件 $A$，它包含 $\{a_1,a_2\}$，$\{a_1,a_3\}$，$\{a_2,a_3\}$，共 $3$ 种。

故 $P(A)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。

（注：部分答案资料此处印作 $\frac{1}{3}$，与其自身列举的 $15$ 种结果矛盾；按列举计算应为 $\frac{1}{5}$，官方答案亦为 $\frac{1}{5}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样按比例分配；古典概型的概率公式

核心方法：先定抽样比逐层相乘，再列举基本事件求比值

避坑指南：列举按含 $a_1$、含 $a_2$ 不含 $a_1$ 的顺序防重防漏；分母是 ${\mathrm{C}}_6^2=15$，别用错计数模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样与古典概型解答题，与 2014 年天津卷文第 15 题、2013 年广东卷文第 17 题同族。

结论推广：分层抽样各层抽取数 $=$ 层内个体数 $\times$ 抽样比；古典概型 $P=\frac{m}{n}$ 中 $n={\mathrm{C}}_6^2=15$ 型计数。

方法推广：概率解答题先设事件、列样本点、数个数；列举时用字典序防漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-15 解-古典概型
• 2015-天津卷文-15 解-分层抽样
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型