2012-山东卷文-18 解-古典概型分类计数

本题导读

本题考查古典概型。核心在于列举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 $1$，$2$，$3$；蓝色卡片两张，标号分别为 $1$，$2$.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 $4$ 的概率；

(2)现袋中再放入一张标号为 $0$ 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 $4$ 的概率.

🔍【思路分析】

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五张卡片任取两张共 $10$ 种，符合条件 $3$ 种，概率 $\frac{3}{10}$；加入绿色卡片后共 $15$ 种，符合条件 $8$ 种，概率 $\frac{8}{15}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{3}{10}$；(2)$\frac{8}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

记红卡为 $R_1$，$R_2$，$R_3$，蓝卡为 $B_1$，$B_2$。

（1）从五张中任取两张，基本事件共 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种。

颜色不同即”一红一蓝”，共 $3\times 2=6$ 种，其中标号之和小于 $4$ 的有 $R_1{B}_1$（和 $2$）、$R_1{B}_2$（和 $3$）、$R_2{B}_1$（和 $3$），共 $3$ 种。

故所求概率 $P=\frac{3}{10}$。

（2）再放入绿卡 $G_0$ 后袋中共六张，基本事件共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种。

“颜色不同”即两张来自不同颜色，分类计数：

红蓝搭配：$3\times 2=6$ 种，其中和小于 $4$ 的有 $R_1{B}_1$、$R_1{B}_2$、$R_2{B}_1$，共 $3$ 种；

红绿搭配：$3\times 1=3$ 种，即 $R_1{G}_0$（和 $1$）、$R_2{G}_0$（和 $2$）、$R_3{G}_0$（和 $3$），全部符合，共 $3$ 种；

蓝绿搭配：$2\times 1=2$ 种，即 $B_1{G}_0$（和 $1$）、$B_2{G}_0$（和 $2$），全部符合，共 $2$ 种。

有利事件共 $3+3+2=8$ 种，故所求概率 $P=\frac{8}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的概率计算；分类计数原理与列举法

核心方法：先算样本空间总数，再按”颜色搭配”分类列举有利事件

避坑指南：“颜色不同”不是”编号不同”，第（2）问中绿卡只有一张，与红、蓝都可配对；分类时注意各类别之间不能重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型分类计数题，与 2013 年山东卷文第 17 题、2012 年上海卷文第 11 题同族。

结论推广：古典概型中 $P(A)=\frac{A\text{包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}}$；多颜色取卡问题按”两种颜色的组合”分类不重不漏。

方法推广：带限制条件的古典概型：先列样本空间，再按颜色（或类别）搭配分类数有利事件，最后核对各类互斥且完备。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-17 解-古典概型
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型
• 2012-上海卷文-11 填-古典概型