2012-广东卷文-10 单-向量新定义

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及新定义运算。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 对任意两个非零的平面向量 $\mathbf{\alpha }$ 和 $\mathbf{\beta }$，定义 $\mathbf{\alpha }\circ \mathbf{\beta }=\frac{\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }}{\mathbf{\beta }\cdot \mathbf{\beta }}$. 若两个非零的平面向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 满足 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角 $\theta \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，且 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}\circ \mathbf{a}$ 都在集合 $\left\{\frac{n}{2}\mid n\in \mathbf{Z}\right\}$ 中，则 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=$()

A. $\frac{5}{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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两值之积为 ${\cos }^2\theta \in (0,\frac{1}{2})$，又均为正半整数、乘积不小于 $\frac{1}{4}$，只能同为 $\frac{1}{2}$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $t=\frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|}>0$，则

$\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}{|}^2}=\frac{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta }{|\mathbf{b}{|}^2}=t\cos \theta$，$\mathbf{b}\circ \mathbf{a}=\frac{\cos \theta }{t}$.

两式相乘：$\left(\mathbf{a}\circ \mathbf{b}\right)\left(\mathbf{b}\circ \mathbf{a}\right)={\cos }^2\theta$. 由 $\theta \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 得 $0<{\cos }^2\theta <\frac{1}{2}$。

又 $\cos \theta >0$，故两值均为正的半整数，即都不小于 $\frac{1}{2}$，乘积不小于 $\frac{1}{4}$。于是乘积只能落在 $\left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$ 内，唯一的取法是两值同为 $\frac{1}{2}$（此时 $\cos \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$，符合范围；若一值为 $1$ 另一值为 $\frac{1}{2}$，乘积为 $\frac{1}{2}$，对应 $\theta =\frac{\pi }{4}$，不合题意）。

所以 $\mathbf{a}\circ \mathbf{b}=\frac{1}{2}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的定义与夹角公式；半整数集合上的不等式分析

核心方法：引入比值 $t$ 把两个新定义值参数化，用”乘积 = ${\cos }^2\theta$“夹出取值

避坑指南：$\theta$ 取开区间，${\cos }^2\theta <\frac{1}{2}$ 严格成立，故”一个 $\frac{1}{2}$ 一个 $1$“被排除；两值都取 $\frac{1}{2}$ 时 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 要回代验证在范围内。选 A 的资料把两值的对称性弄反了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量新定义与不等式综合题，与 2013 年新课标Ⅱ理第 13 题、2014 年江西卷理第 15 题同族。

结论推广：$\mathbf{\alpha }\circ \mathbf{\beta }$ 即 $\mathbf{\alpha }$ 在 $\mathbf{\beta }$ 方向上投影与 $|\mathbf{\beta }|$ 的比值（投影向量长度比）；两值互为”倒数关系乘 ${\cos }^2\theta$”。

方法推广：新定义双变量问题优先找”不变量”（这里是乘积 ${\cos }^2\theta$），用范围夹逼代替逐个尝试。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-13 填-平面向量数量积的性质及运算
• 2014-江西卷理-15 填-数量积定义与性质
• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值