2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及等比中项。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)）若等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} a_{4} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{1} a_{3}^{2} a_{5} =$ .

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$a_{2} a_{4} = a_{3}^{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{1} a_{5} = a_{3}^{2} = \frac{1}{2}$ ，故 $a_{1} a_{3}^{2} a_{5} = a_{3}^{4} = \frac{1}{4}$ 。

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列的性质（下标和相等，积相等）：

$a_{2} a_{4} = a_{3}^{2} = \frac{1}{2}$ （ $2 + 4 = 3 + 3$ ）； $a_{1} a_{5} = a_{3}^{2} = \frac{1}{2}$ （ $1 + 5 = 3 + 3$ ）.

于是

$a_{1} a_{3}^{2} a_{5} = (a_{1} a_{5}) \cdot a_{3}^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

（等价地： $a_{1} a_{3}^{2} a_{5} = (a_{1} a_{3}) (a_{3} a_{5}) = a_{2}^{2} a_{4}^{2} = (a_{2} a_{4})^{2} = \frac{1}{4}$ 。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列下标性质： $m + n = 2 p \Rightarrow a_{m} a_{n} = a_{p}^{2}$

核心方法：把条件和目标都向 $a_{3}$ 的幂靠拢，两次使用等比中项性质

避坑指南：下标和相等才有积相等： $a_{1} a_{5} = a_{2} a_{4} = a_{3}^{2}$ ，共 $1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3$ ；套性质时先把目标的下标两两配对再动手，乱配会得出含 $q$ 的错误结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列性质题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 6 题、2014 年新课标Ⅱ理第 17 题同族。

结论推广：更一般地，等比数列中 $m + n = s + t \Rightarrow a_{m} a_{n} = a_{s} a_{t}$ ；等差数列对应的是”和相等”。

方法推广：等比数列小题先看下标和能否配平，能把多个条件并成一个量的幂。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和

2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式

2013-江苏卷-14 填-等比数列的综合应用

∑ ( Math )

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2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质

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