2012-广东卷文-13 填-平均数与方差

本题导读

本题考查平均数与中位数，以及标准差的逆求。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 由正整数组成的一组数据 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$，其平均数和中位数都是 $2$，且标准差等于 $1$，则这组数据为$\underline{}$.（从小到大排列）

🔍【思路分析】

破题导航

设 $x_1⩽x_2⩽x_3⩽x_4$，由对称性得 $(x_1-2{)}^2+(x_2-2{)}^2=2$，解得数据为 $1,1,3,3$。

✅【答案】

点击查看答案

$1$，$1$，$3$，$3$

✍【详细解析】

Abstract

设 $x_1⩽x_2⩽x_3⩽x_4$。平均数为 $2$，故 $x_1+x_2+x_3+x_4=8$；中位数为 $2$，故 $x_2+x_3=4$，从而 $x_1+x_4=4$。

于是 $x_3-2=2-x_2$，$x_4-2=2-x_1$。标准差为 $1$，即方差 $s^2=1$：

$(x_1-2{)}^2+(x_2-2{)}^2+(x_3-2{)}^2+(x_4-2{)}^2=4$，即 $2(x_1-2{)}^2+2(x_2-2{)}^2=4$，

$(x_1-2{)}^2+(x_2-2{)}^2=2$.

由 $x_1⩽x_2⩽2$ 且均为正整数：若 $x_2=2$，则 $(x_1-2{)}^2=2$ 无整数解；故 $x_2=1$，得 $(x_1-2{)}^2=1$，$x_1=1$。进而 $x_3=3$，$x_4=3$。

所以这组数据为 $1,1,3,3$（验证：平均数 $2$，中位数 $2$，方差 $\frac{1+1+1+1}{4}=1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：中位数（偶数组取中间两数平均）；方差与标准差的关系

核心方法：先由中位数与平均数把四个数”配对对称化”，再让平方和定出具体值

避坑指南：偶数个数据的中位数是中间两数的平均值（$x_2+x_3=4$），不是”第三个数”；标准差 $1$ 对应平方和 $4$（$4\times 1^2$），别少乘 $n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数字特征逆求题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 18 题、2013 年辽宁卷理第 16 题同族。

结论推广：若数据关于平均数对称，方差可写成 $2(x_1-\bar{x}{)}^2+2(x_2-\bar{x}{)}^2$（四数成对）。

方法推广：数字特征逆求题按”和 → 中位 → 平方和”的顺序列方程，逐层收窄候选值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计
• 2013-辽宁卷理-16 填-平均数与方差
• 2014-陕西卷文-09 单-均值与方差