2012-广东卷文-15 填-圆幂定理求线段

本题导读

本题考查弦切角定理，以及相似三角形。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）

如图所示，直线 $PB$ 与圆 $O$ 相切于点 $B$，$D$ 是弦 $AC$ 上的点，$\angle PBA=\angle DBA$. 若 $AD=m$，$AC=n$，则 $AB=$ $\underline{}$.

!

🔍【思路分析】

破题导航

$\angle ABD=\angle ACB$ 且 $\angle A$ 公用，$△ABD\sim △ACB$，故 $A{B}^2=AD\cdot AC=mn$，$AB=\sqrt{mn}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{mn}$

✍【详细解析】

Abstract

由弦切角定理，$\angle PBA$ 是弦 $AB$ 所对的弦切角，等于它所夹的弧 $\widehat{AB}$ 所对的圆周角，即 $\angle PBA=\angle ACB$。

又已知 $\angle PBA=\angle DBA$（即 $\angle ABD$），故 $\angle ABD=\angle ACB$。

在 $△ABD$ 与 $△ACB$ 中：$\angle BAD=\angle CAB$（公共角），$\angle ABD=\angle ACB$，故 $△ABD\sim △ACB$。

由相似得 $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即 $A{B}^2=AD\cdot AC=mn$，故 $AB=\sqrt{mn}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦切角定理（弦切角等于所夹弧上的圆周角）；相似三角形的判定与射影型比例

核心方法：把角的等量关系翻译成”同弧圆周角”，构造 $△ABD\sim △ACB$ 得比例式

避坑指南：弦切角 $\angle PBA$ 夹的是弧 $AB$，对应的圆周角是 $\angle ACB$（不是 $\angle ABC$）；$D$ 在弦 $AC$ 上，$AD\cdot AC=A{B}^2$ 正是切割线定理的”割线形式”在圆内的体现。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的几何证明题，与 2013 年天津卷文第 13 题、2013 年北京卷理第 11 题同族。

结论推广：一般结论：$PA$ 交圆于 $A$、$D$，$PAB$ 为割线、$PB$ 为切线时 $P{B}^2=PA\cdot PC$；本题是其在圆内的相似版本 $A{B}^2=AD\cdot AC$。

方法推广：几何证明选讲题先写全定理依据（弦切角、公共角），再落相似比例，最后代数化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理
• 2012-天津卷文-13 填-圆幂定理求线段