本题导读
本题考查线面垂直的判定。核心在于中位线法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2012年广东卷(文)） 如图所示，在四棱锥 中， 平面 ，，， 是 中点， 是 上的点且 ， 为 中 边上的高.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，，，求三棱锥 的体积；
(3)证明： 平面 .
!
🔍【思路分析】
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平面 ； 到底面的距离为 ，，；取 中点证 （即 的平行线）垂直平面 。
✅【答案】
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(1)证明见解析；(2)三棱锥 的体积为 ；(3)证明见解析
✍【详细解析】
Abstract
（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 。
又 是等腰三角形 （）底边 上的高，所以 。
， 平面 ，所以 平面 。
（2）因为 平面 ，，所以 ，即 平面 过 的垂线方向。 在 上，，故 。以 为底、 到直线 的距离为高： 且 ，故 到直线 的距离等于 ，
.
由（1）知 平面 ， 是 的中点， 在底面内，故 到底面的距离 。
所以 .
（3）取 的中点 ，连接 、。因为 是 的中点，所以 ，；又 ，（ 在 上，），所以 且 ，四边形 为平行四边形，故 。
由 知 （等腰三角形底边中线即高）；又 平面 ， 平面 ，故 。
， 平面 ，所以 平面 ，从而 平面 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：线面垂直的判定定理；中点 conditions 下点面距的减半；用中位线构造平行四边形平移线段
核心方法：（1）垂直两条相交直线；（2）， 用” 平行线间距”、 取 的一半；（3）作中位线把 平移到 再证线面垂直
避坑指南： 是 中点、 在底面内，故 的高度是 的一半——不能整段用 ；第（3）问不能直接对 用判定定理（它与平面内直线的垂直关系看不出），必须先平移到 。合集所印答案 漏了因子 ，正确体积为 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：四棱锥垂直与体积综合题，与 2013 年重庆卷文第 19 题、2013 年安徽卷文第 18 题同族。
结论推广：中点问题三板斧：取中点作中位线（造平行）、等腰三角形三线合一（造垂直）、中点处高度减半（算体积）。
方法推广：证线面垂直而”目标直线”不好用时，先把它平移成好用的线（中位线是首选工具），再对平移后的线用判定定理。
🔗【关联脉络】
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