2012-新课标卷文-04 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的离心率，以及等腰三角形的性质。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 设 $F_1$，$F_2$ 是椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，$P$ 为直线 $x=\frac{3a}{2}$ 上一点，$△F_{2}P{F}_1$ 是底角为 $30^{\circ }$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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$P$ 在 $x=\frac{3a}{2}$ 上，$△F_{2}P{F}_1$ 底角 $30^{\circ }$，即 $\angle P{F}_2{F}_1=120^{\circ }$，$|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$，得 $e=\frac{3}{4}$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$P$ 在椭圆外（$\frac{3a}{2}>a$），由对称性取 $P$ 在第一象限。因 $P$ 的横坐标大于 $a$，$|P{F}_1|>|P{F}_2|$，故等腰只能是 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$，底边为 $P{F}_1$，底角在 $P$、$F_1$ 处。

于是顶角 $\angle P{F}_2{F}_1=180^{\circ }-2\times 30^{\circ }=120^{\circ }$。

$$\begin{gathered} \overrightarrow{F_{2}P}=\left(\frac{3a}{2}-c, \\ ,y\right) \end{gathered}$$，$\overrightarrow{F_2{F}_1}=(-2c,0)$， $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}=\frac{\left(\frac{3a}{2}-c\right)(-2c)}{2c\cdot 2c}=\frac{c-\frac{3a}{2}}{2c}$

解得 $c=\frac{3a}{4}$，即 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{4}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率；焦点三角形的等腰条件

核心方法：确定等腰的”腰与底” → 顶角 $120^{\circ }$ → 向量夹角（或余弦定理）列方程

避坑指南：①先判断 $|P{F}_1|\ne |P{F}_2|$（$P$ 在右准线外偏右），腰只能是 $P{F}_2$ 与 $F_1{F}_2$；②底角 $30^{\circ }$ 对应顶角 $120^{\circ }$，别当成 $60^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由焦点三角形定离心率，与 2013 年四川卷文第 9 题、2013 年新课标Ⅱ文第 5 题同族。

结论推广：一般地，$P$ 在直线 $$\begin{gathered} x=t \\ ,a \end{gathered}$$（$t>1$）上且 $△P{F}_1{F}_2$ 等腰时，用 $\cos \theta =\frac{c-ta}{2c}$ 列方程即可解出 $e$。

方法推广：离心率问题三板斧：定几何量（腰/底/角）→ 建立含 $a,c$ 的方程 → 齐次化求 $\frac{c}{a}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-09 单-椭圆离心率
• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率