2012-新课标卷文-23 解-参数方程与距离和

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化。核心在于参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 $C_1$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \phi ,\\ y=3\sin \phi \end{array}$（$\phi$ 是参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程是 $\rho =2$，正方形 $ABCD$ 的顶点都在 $C_2$ 上，且 $A$，$B$，$C$，$D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$.

(1) 求点 $A$，$B$，$C$，$D$ 的直角坐标；

(2) 设 $P$ 为 $C_1$ 上任意一点，求 $|PA{|}^2+|PB{|}^2+|PC{|}^2+|PD{|}^2$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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$A(1,\sqrt{3})$，$B(-\sqrt{3},1)$，$C(-1,-\sqrt{3})$，$D(\sqrt{3},-1)$；$S=16{\cos }^2\phi +36{\sin }^2\phi +16=32+20{\sin }^2\phi \in [32,52]$。

✅【答案】

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(1) $A(1,\sqrt{3})$，$B(-\sqrt{3},1)$，$C(-1,-\sqrt{3})$，$D(\sqrt{3},-1)$ (2) $[32,52]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 正方形内接于圆 $\rho =2$，相邻顶点极角相差 $\frac{\pi }{2}$，逆时针依次为 $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6},\frac{4\pi }{3},\frac{11\pi }{6}$。

$A(2\cos \frac{\pi }{3},2\sin \frac{\pi }{3})=(1,\sqrt{3}),B=(2\cos \frac{5\pi }{6},2\sin \frac{5\pi }{6})=(-\sqrt{3},1)$ $C=(-1,-\sqrt{3}),D=(\sqrt{3},-1)$

(2) 设 $P(2\cos \phi ,3\sin \phi )$。由对称性（$A+C=O$，$B+D=O$）， $$\begin{gathered} \sum |PA{|}^2=\sum \left(|P{|}^2+|A{|}^2-2 \\ ,\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}\right)=4|P{|}^2+4\times 4 \end{gathered}$$ （顶点和 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=0$，交叉项消去）。

$|P{|}^2=4{\cos }^2\phi +9{\sin }^2\phi$，故 $S=4(4{\cos }^2\phi +9{\sin }^2\phi )+16=16{\cos }^2\phi +36{\sin }^2\phi +16=16+20{\sin }^2\phi +16=32+20{\sin }^2\phi$ ${\sin }^2\phi \in [0,1]$，故 $S\in [32,52]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标互化；正方形外接圆的对称性；椭圆参数方程求距离和的范围

核心方法：极角步进 $\frac{\pi }{2}$ → 参数点代入 → “顶点和为零”消交叉项 → ${\sin }^2$ 的范围

避坑指南：①四个顶点极角依次加 $\frac{\pi }{2}$，别按 $\frac{\pi }{4}$ 步进；②$|P{|}^2=4{\cos }^2\phi +9{\sin }^2\phi \in [4,9]$（$b=3$ 在 $y$ 轴），最小值不是 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与极坐标综合题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 23 题（参数方程）、2013 年新课标Ⅰ文第 23 题（极坐标方程）同族。

结论推广：一般地，正 $n$ 边形顶点在半径 $r$ 的圆上时，$\sum |P{A}_i{|}^2=n(|P{|}^2+r^2)$（顶点和为零）。

方法推广：动点到多顶点距离平方和：先看顶点是否中心对称（和为零消交叉项），再把动点参数化，最后用三角函数值域收口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程
• 2013-新课标I卷文-23 解-极坐标方程