2012-新课标卷理-11 单-球与棱锥的组合

本题导读

本题考查球与棱锥的组合问题，以及体积的计算。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知三棱锥 $S-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$△ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形，$SC$ 为球 $O$ 的直径，且 $SC=2$，则此棱锥的体积为

()

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $SC$ 为直径 $2$，球心 $O$ 为 $SC$ 中点。

2. 求 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离。

3. 用体积公式求棱锥体积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$SC=2$，球半径 $1$，球心 $O$ 为 $SC$ 中点。

正三角形 $ABC$ 外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$O$ 到平面 $ABC$ 距离 $h=\sqrt{1-r^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

$S$ 到平面 $ABC$ 距离 $=2h=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。

体积 $V=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球与棱锥的组合

核心方法：三棱锥的体积

避坑指南：球的性质

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于球的组合体

结论推广：可推广到球与多面体的内切、外接

方法推广：球心到截面距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III理-04 单-棱柱与棱锥的体积公式

• 2005-广东卷-04 单-正三角形的面积公式

• 2005-江苏卷-04 单-正三棱柱的几何性质