2012-江苏卷-08 填-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若双曲线 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{m^2+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$，则 $m$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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离心率条件化为 $m+1+\frac{4}{m}=5$，即 $(m-2{)}^2=0$，故 $m=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的标准方程中 $a^2=m$，因此 $m>0$，且 $c^2=a^2+b^2=m+m^2+4$。

由离心率 $e=\sqrt{5}$，有 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{m^2+m+4}{m}=5$。

于是 $m+1+\frac{4}{m}=5$，即 $m^2-4m+4=0$，所以 $(m-2{)}^2=0$，得到 $m=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线中 $a^2,b^2,c^2$ 的关系；离心率的平方形式

核心方法：直接由 $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$ 列方程，整理为完全平方

避坑指南：方程中 $a^2=m$（不是 $m^2$），故 $m>0$；若把 $e^2$ 误当 $e$ 或忽略 $m>0$ 的约束，可能出现增根或开方出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线离心率求参数题，与 2012 年福建卷文第 5 题、2012 年重庆卷文第 14 题同族。

结论推广：形如 $\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{m^2+k}=1$ 中恒有 $b^2>m$（$m>0$），此时 $e^2=\frac{m^2+m+k}{m}$ 可整理为关于 $m+\frac{k}{m}$ 的方程。

方法推广：圆锥曲线求参数：把几何条件（离心率、焦距等）翻译成 $a^2,b^2$ 的方程，注意区分参数与 $a^2$ 的关系并检验取值范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-05 单-双曲线离心率
• 2012-重庆卷文-14 填-双曲线的离心率
• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率