2012-江苏卷-10 填-分段函数周期性

本题导读

本题考查分段函数，以及函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 $2$ 的函数，在区间 $[-1,1]$ 上，$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+1,& -1⩽x<0,\\ \frac{bx+2}{x+1},& 0⩽x⩽1,\end{array}$ 其中 $a,b\in \mathbf{R}$.若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$，则 $a+3b$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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由 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$ 得 $3a+2b=-2$；由 $f(-1)=f(1)$ 得 $b=-2a$；解得 $a=2$，$b=-4$，$a+3b=-10$。

✅【答案】

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$-10$

✍【详细解析】

Abstract

由周期为 $2$，且 $\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$，有 $f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$。

根据分段表达式，条件 $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ 化为 $\frac{b+4}{3}=\frac{1-a}{2}$，即 $3a+2b=-2$。

又因为函数周期为 $2$，所以 $f(-1)=f(1)$。代入分段表达式得 $1-a=\frac{b+2}{2}$，即 $b=-2a$。

联立两个方程，得 $a=2$，$b=-4$。因此 $a+3b=2+3\times (-4)=-10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用周期把不同点的函数值移到同一段；待定系数法解二元一次方程组

核心方法：周期平移点 $\to$ 分段代入 $\to$ 两个方程联立

避坑指南：$\frac{3}{2}$ 不在任何分段表达式的直接适用区间内，必须先用周期移到 $-\frac{1}{2}$；再补 $f(-1)=f(1)$ 这个隐含方程，只列一个方程解不出 $a$、$b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数与周期结合求参数题，与 2012 年浙江卷文第 16 题、2013 年大纲卷文第 13 题同族。

结论推广：周期为 $T$ 的函数满足 $f(x)=f(x\pm nT)$；分段函数上的点先平移进适用区间再代入是通用手法。

方法推广：周期函数求参数：把”远处的点”平移到”分段表内有定义的点”，逐段代入列出方程组，注意分段端点的开闭归属。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-16 填-周期偶函数求值
• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值
• 2013-湖北卷文-08 单-取整函数周期